吴国平:你知道高考数学最常见、最热门的思想方法是什么吗?

  数学研究对象一直以来主要集中在数量关系和空间形式两个方面,通俗的说,数学就是“做”关于“数”与“形”两者之间的事情。

  基于数学这个本质的特点,数形结合思想是数学这个大家庭里最重要、最古老的数学思想方法之一。

  在小学时期,虽然数学教育没有对数形结合思想进行针对性的教学训练,但在很多数学内容里都蕴含数形结合的思想。如小学生最开始通过具体物品的数量变化,来消化和理解加减乘除等基本运算。

  进入初中之后,教材才正式给出数形结合这一重要思想方法,也是中考数学重要和热门考点。如要想掌握好函数相关知识内容,就必须把函数的图象和性质进行相结合,才能真正理解函数这一重要知识内容;或是学习几何内容,需要把基本的几何图形关系转化成数量关系,把图形语言转化成具体的数学语言等。

  特别是进入高中之后,这些变化对学生的数学学习能力、数学素养等都提出了挑战。很多考生经常会说,为什么我做了那么多题目,还是考不出好成绩?关键就是没有认真去消化和理解数学思想方法,解题没有结合具体思想方法;或解题反思只是反思解题技巧,却对数学思想方法没有进行反思总结等。

  因此,为了能更好帮助高考生应对高考数学,为自己将来考上理想的学校打下一个坚实基础,今天我们就一起来讲讲数形结合思想。

  那么什么是数形结合思想?

  所谓数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决具体数学问题的思想方法,使复杂的数学问题通过数形结合变得简单,最终得到解决。

  我们把数形结合思想进行细致化,可以从这两个方面去理解:

  1、数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系;

  2、“形”主要是指图形,有点、线、面、体等。

  高考数学,数形结合思想方法,典型例题分析1:

  在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.

  1) 求实数b的取值范围;

  2) 求圆C的方程;

  3) 问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.

  解:令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b);

  令f(x)=x2+2x+b=0,由题意b≠0 且Δ>0,解得b<1 且b≠0,实数b的取值范围是b∈(-∞,0)∪(0,1).

  2) 解:设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

  令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0 是同一个方程,

  故D=2,F=b.

  令x=0得y2+Ey+F=0,

  此方程有一个根为b,

  代入得出E=―b―1.

  所以圆C 的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

  3) 证明:假设圆C过定点(x0,y0),(x0,y0不依赖于b),

  将该点的坐标代入圆C的方程,

  并变形为x02+y02+2x0-y0+b(1-y0)=0 (*)

  为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立,

  必须有1-y0=0,

  结合(*)式得

  x02+y02+2x0-y0=0,

  解得x0=0,y0=1;或x0=-2,y0=1

  经检验知,点(0,1),(-2,0)均在圆C上,

  因此圆C 过定点。

  很多学生都知道数形结合思想,但对如何运用数形结合思想去解决问题,却不是很清楚。要想准确、高效运用数形结合思想去解决实际问题,一定要理解数形结合思想本质上就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。

  具体来说,运用数学结合思想解决实际问题,需要掌握这两个方面的解题策略:

  1、学会用“以形助数”,把抽象问题具体化;

  2、“以数解形”,把直观图形数量化,使“形”更加精确。

  数形结合思想作为一种重要的数学思想方法,不仅体现数学的本质,更是解决数学问题的一种策略和思想,或是一种重要的方法,因而在历年全国高考数学中占有非常重要的地位。

  高考数学,数形结合思想方法,典型例题分析2:

  设f(x)=-x3/3+x2/2+2ax.

  1) 若f(x)在(2/3,+∞)上存在单调递增区间,求实数a的取值范围;

  2) 当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-16/3,求f(x)在该区间上的最大值.

  具体来说,要想在具体问题中抓住数形结合,可以从以下四个方面入手:

  1、实数与数轴上点的对应;

  2、函数与图象的对应;

  3、曲线与方程的对应;

  4、以几何元素及几何条件为背景,通过坐标系来实现的对应,有复数、三角、空间点的坐标等。

  熟练运用数形结合思想,可以很直观帮助我们去解决具体的数学问题,如在解决高考数学填空题、选择题这些客观题时候,数形结合思想就有直观、简单、快捷等特点。即使是面对高考数学解答题,最终的解题过程我们都需要借用具体、严密、推理的数学语言表达出来,而图形只是辅助手段。

  高考数学,数形结合思想方法,典型例题分析3:

  已知f(x)是二次函数,不等式f(x)

  1) 求f(x)的解析式;

  2) 是否存在自然数m使得方程f(x)+37/x=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m值;若不存在,说明理由.

  解:(1) ∵ f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5),

  ∴ 可设f(x)=ax(x-5)(a>0).

  ∴ f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a.

  由已知,得6a=12,

  ∴ a=2,

  ∴ f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).

  2) 方程f(x)+37/x=0等价于方程2x3-10x2+37=0.

  设h(x)=2x3-10x2+37,

  则h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10).

  当x∈(0,10/3)时,

  h′(x)<0,h(x)是减函数;

  当x∈(10/3,+∞)时,

  h′(x)>0,h(x)是增函数.

  ∵ h(3)=1>0,

  h(10/3)=-1/27<0,h(4)=5>0,

  ∴ 方程h(x)=0在区间(3,10/3),(10/3,4)内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实数根,所以存在唯一的自然数m=3,使得方程f(x)+37/x=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根。

  数学思想方法,对于很多人来说好像是虚无缥缈的存在。实际上,只要认真去对待每一道题目,不断提炼解题方法和技巧,学会总结反思,结合习题训练,慢慢就能感受和学会运用数学思想方法解决问题。

  高考数学,数形结合思想方法,典型例题分析4:

  已知函数f(x)=x2/2-alnx(a∈R).

  1) 若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;

  2) 若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围;

  3) 讨论方程f(x)=0的解的个数,并说明理由.