（本文摘自《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》，吴大猷科普金签奖、2014中国好书获奖作者卢昌海力作。中文网络上流布至广的数学科普。著名数学家王元院士作序推荐）
现在我们要往 “山寨版” 黎曼猜想挺进了。 由于黎曼猜想是关于黎曼 ζ 函数零点分布的猜想， 因此很明显， 要想有黎曼猜想， 首先得有黎曼 ζ 函数。 只不过，黎曼猜想如果是 “山寨版” 的， 作为其 “核心部件” 的 黎曼 ζ 函数当然也只需是 “山寨版” 的即可。 这 “山寨版” 的黎曼 ζ 函数从何而来呢？ 正是从有限域上的代数曲线中来。
为此， 我们要引进有限域上代数曲线 F(x, y)=0 的一个重要性质， 那就是它所含点的数目。 这个性质之所以重要， 因为它实际上就是有限域上代数方程 F(x, y)=0 的解的数目。 如前所述， 解的数目对于研究方程来说是一个重要课题， 相应的， 所含点的数目对于代数曲线来说也是一个重要性质。 我们在前面说过， 有限域 Fq 上的代数方程 F(x, y)=0 可以被视为是所有有限域 Fqm (m=1, 2, 3, ...) 上的代数方程。 用代数曲线的语言来说， 这意味着有限域 Fq 上的代数曲线 F(x, y)=0 可以被视为是所有有限域 Fqm (m=1, 2, 3, ...) 上的代数曲线。 另一方面， 代数曲线 F(x, y)=0 所含点的数目， 或代数方程 F(x, y)=0 的解的数目， 显然是与定义域 Fqm的选取有关的。 为了体现这种关系， 我们用 Nm 表示定义域为 Fqm 时的这一数目。
有了这些准备， 现在我们可以定义 “山寨版” 的 黎曼 ζ 函数了， 那就是：
如此定义的 “山寨版” 黎曼 ζ 函数与 “正版” 黎曼 ζ 函数一样， 是关于复变量 s 的函数， 它有一个比较正式的名字， 叫做有限域上代数曲线的 ζ 函数。 在这一函数的定义中， 我们特意引进了一个表示代数曲线的字母 C， 因为此定义所给出的函数显然与代数曲线的选取有关； 定义中的 q 则来自于代数曲线 C 的原始定义域 Fq 中的 q (q 不出现在左侧， 是因为表示代数曲线的 C 已经包含了 Fq 这一定义域信息， 从而包含了q)。
有了 “山寨版” 的 黎曼 ζ 函数， 我们就可以表述有关其零点分布的 “山寨版” 黎曼猜想了。 由于这个猜想是关于有限域上代数曲线的 ζ 函数零点分布的， 因此我们称其为有限域上代数曲线的 “山寨版” 黎曼猜想。
有限域上代数曲线的 “山寨版” 黎曼猜想： 有限域上代数曲线的 ζ 函数的所有零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。
由于“山寨版” 黎曼 ζ 函数与代数曲线的选取有关， 而后者有无穷多种， 因此上述 “山寨版” 黎曼猜想实际上是无穷多个猜想的统称。 对于特定的代数曲线及原始定义域， 该猜想可以通过对 “山寨版” 黎曼 ζ 函数的直接计算加以验证， 有些甚至是相当容易的， 但涵盖所有代数曲线及原始定义域的普遍证明却大为不易。
埃米尔·阿廷
我们在上节中曾经提到，韦依并不是 “山寨版” 黎曼猜想这一研究方向的开创者。 事实上， 早在 1923 年， 奥地利数学家埃米尔·阿廷(Emil Artin ，1898-1962) 就提出了有限域上一类被称为超椭圆曲线 (hyperelliptic curve) 的特殊代数曲线上的 ζ 函数， 以及相应的 “山寨版” 黎曼猜想。 1933 年， 德国数学家赫尔穆特·哈赛(Helmut Hasse，1898-1979) 则证明了有限域上一类被称为椭圆曲线 (elliptic curve) 的特殊代数曲线上的 “山寨版” 黎曼猜想 (请注意，阿廷只是提出猜想，哈赛则是证明猜想， 而且两人所针对的是不同情形下的猜想——前者针对超椭圆曲线， 后者针对椭圆曲线)。
阿廷的猜想及哈赛的证明虽都有一定的广泛性 (各自都涵盖了无穷多的个例)，但针对的仍只是特定类型的代数曲线。韦依的贡献则在于给出了上述 “山寨版” 黎曼猜想的普遍证明 (即针对任意代数曲线的证明)。 不过， 在上节提到的他给嘉当的信件中，他给出的只是证明的大致思路， 完整的证明直到二战结束后的 1948 年才发表。韦依对“山寨版” 黎曼猜想的贡献还不止于此。 完成了对上述猜想的证明后的第二年， 即 1949 年，韦依对该猜想进行了一次重要推广。 这个推广的证明是如此困难， 不仅他自己未能给出，在接下来二十四年的时间里， 参与研究的所有其他数学家也都未能给出完全的证明。 他的这一推广因此而被称为了韦依猜想 (Weil conjectures)。
韦依猜想包含了若干个命题， “山寨版” 黎曼猜想是其中之一， 并且从历史上讲是证明最为不易的一个。 不过，韦依猜想中的 “山寨版” 黎曼猜想的证明虽然困难， 其由来却是对上述 “山寨版” 黎曼猜想的很直接的推广， 即将上述猜想中的代数曲线推广为高维几何对象。 这种高维几何对象有一个专门的名称， 叫做代数簇(algebraic variety)， 它也是用代数方程 (或方程组) 来定义的， 并且也可以定义在有限域上。 与有限域上代数曲线的 ζ 函数完全类似地， 也可以引进有限域上代数簇的 ζ 函数。 对于这种 ζ 函数， 也存在 “山寨版” 的 黎曼猜想， 我们称其为有限域上代数簇的 “山寨版” 黎曼猜想， 它是韦依对有限域上代数曲线的 “山寨版” 黎曼猜想的推广， 也是韦依猜想的一部分。
有读者可能会问： 将曲线推广为高维几何对象这样直截了当的推广， 那是中学生都能想到的事情， 为何要等到 1949 年才问世？ 答案是： 有限域上代数簇的 “山寨版” 黎曼猜想与普通 (即有限域上代数曲线的) “山寨版” 黎曼猜想以及 “正版” 黎曼猜想有一个绝非显而易见的差异， 那就是它所要求的零点分布不再是单一直线， 而是与代数簇的维数有关的一系列直线。 具体地说，韦依猜想中的 “山寨版” 黎曼猜想是这样的：
有限域上代数簇的 “山寨版” 黎曼猜想： 有限域上的 d 维代数簇的 ζ 函数的所有零点都位于复平面上 Re(s)=1/2, 3/2, ..., (2d-1)/2 的直线上。
如前所述， 这一 “山寨版” 黎曼猜想只是韦依猜想的一部分， 而非全部。 韦依猜想还包括了关于有限域上代数簇的 ζ 函数的另外几个命题。 虽然与普通 (即有限域上代数曲线的) “山寨版” 黎曼猜想及 “正版” 的黎曼猜想都有所不同， 这个推广了的 “山寨版” 黎曼猜想与后两者的相似性还是很显著的， 不算有负 “山寨版” 的 “光荣称号”。 此外， 在 d=1 的特殊情况下， 该猜想可以自动给出有限域上代数曲线的 “山寨版” 黎曼猜想， 这也印证了它作为 “山寨版” 黎曼猜想的地位。
韦依猜想提出后引起了很多数学家的兴趣， 在试图证明这一猜想的数学家中， 包括了阿廷的学生伯纳德·贝伦森 (Bernard Dwork，1923-1998)、阿廷的儿子迈克尔·阿廷 (1934-)、 1954 年菲尔兹奖得主让-皮埃尔·塞尔(Jean-Pierre Serre ，1926-)、 1966 年菲尔兹奖得主亚历山大·格罗滕迪克，(Alexander Grothendieck，1928-2014) 等人。
经过这些数学家的努力， 韦依猜想的某些部分在二十世纪六十年代得到了证明， 但有限域上代数簇的 “山寨版” 黎曼猜想部分， 则直到 1974 年才由格罗滕迪克的学生、 比利时数学家皮埃尔·德利涅(Pierre Deligne，1944-) 所证明， 他的证明借助了格罗滕迪克的工作。 四年之后，德利涅因这一工作获得了 1978 年的菲尔兹奖。
格罗滕迪克
在证明包括 “山寨版” 黎曼猜想在内的韦依猜想的过程中， 数学家们发展出了一些很有用的东西， 比如格罗腾迪克创立了一种全新的数学工具： Etale 上同调 (Etale cohomology)， 对数学——尤其是代数几何——的发展起到了促进作用。 从这个意义上讲， “山寨版” 黎曼猜想与其它一些重要的数学猜想一样， 是一只 “下金蛋的鹅” (the goose that lays the golden egg——这是希尔伯特对 费马猜想的评价)。 这也是它的证明虽迄今不曾为人们提供证明 “正版” 黎曼猜想的有效思路， 却依然被视为重要成就的主要原因。 当然， “山寨版” 黎曼猜想的证明， 多多少少使一些人对 “正版” 黎曼猜想的成立抱有了更大的信心。
在结束本节前， 还有一件事情需要交代一下。 细心 (或挑剔？) 的读者也许还会提出这样一个问题： 我们说了半天的 “山寨版” 黎曼猜想， 作为基础的那个所谓 “山寨版” 的 黎曼 ζ 函数跟 “正版” 的黎曼 ζ 函数并不像啊？ 难道就凭它的零点也都在直线上， 就将它称为 “山寨版” 的黎曼 ζ 函数， 既而将有关其零点分布的猜想称为 “山寨版” 黎曼猜想吗？ 如果那样的话， 炮制 “山寨版” 黎曼猜想可就忒容易了， 因为构造一个所有零点都在直线上——甚至在 Re(s)=1/2 的直线上——的函数其实是很容易的事情 (请读者自行构造几个那样的函数)， 难道那样一来它们就都可以跟黎曼猜想攀上亲？
这些问题的答案是： 这里引进的“山寨版” 黎曼 ζ 函数及 黎曼猜想与“正版” 黎曼 ζ 函数及黎曼猜想的相似性， 绝不仅仅是因为它们的零点都分布在直线上， 而有着更深层的理由。 比方说，“山寨版” 黎曼 ζ 函数跟“正版” 黎曼 ζ 函数一样， 可以写成类似于欧拉乘积公式那样的表达式， 而且也满足类似于“正版” 黎曼 ζ 函数所满足的函数方程。 不仅如此， 与 “正版” 黎曼猜想的成立可以给出对素数分布的最佳估计 (即与素数定理之间的最小偏差) 相类似，“山寨版” 黎曼猜想的成立可以给出对有限域上代数簇所包含的点的数目 (即定义代数簇的方程或方程组在有限域上的解的数目) 的某种最佳估计。
可惜的是， 这些结果， 以及 “山寨版” 黎曼猜想的证明， 都不是省油的灯 (比方说 “山寨版” 黎曼 ζ 函数所满足的函数方程——对有限域上的代数簇而言——其实是韦依猜想的一部分)。 考虑到它们毕竟只是关于 “山寨版” 的， 而我们还想保留几枚牙齿去啃点别的东西， 在这个方向上就不多逗留了。 如果本节的介绍让读者大致知道了 “山寨版” 黎曼猜想是怎么一回事， 比诸如 “它是黎曼猜想在代数簇上的类似物” 之类口诀式的介绍强一点， 我们的目的就算达到了。
摘自《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》，吴大猷科普金签奖、2014中国好书获奖作者卢昌海力作。中文网络上流布至广的数学科普。著名数学家王元院士作序推荐。
作者：卢昌海
图片来源：网络
编辑：茶水
滴水科学