互掐了半辈子的两个数学巨头,到最后连单身问题都没解决

我居然跑不赢一只龟

看文章前,我们先来讨论一个问题:“假设有一笔钱,先花它一半,再花它剩下的一半,这么花下去,是不是永远花不完?”。

看起来这个问题无懈可击,找不到bug,但是实际上要是能实现的话,我相信应该也没穷人了吧,毕竟大家都花不完的钱了。

悖论引发的乌龟问题

这个其实也是著名的“芝诺悖论”——“两分法”。

一个人从A点走到B点,要先走完路程的1/2,再走完剩下总路程的1/2,再走完剩下的1/2,”如此循环下去,永远不能到终点。

当时芝诺为了让大家理解这个观点,还创造出物理学第一神兽芝诺的乌龟。

他让古希腊神话中善跑的英雄阿喀琉斯和乌龟一起赛跑。 在他和乌龟的竞赛中,他的速度为乌龟十倍,乌龟在前面100米跑,他在后面追,但他永远追上乌龟。

因为在竞赛中,追者首先必须到达被追者的出发点,所以当阿喀琉斯追到100米时,乌龟已经又向前爬了10米,于是,一个新的起点产生了;阿喀琉斯必须继续追,而当他追到乌龟爬的这10米时,乌龟又已经向前爬了1米,阿喀琉斯只能再追向那个1米。

就这样,乌龟会制造出无穷个起点,它总能在起点与自己之间制造出一个距离,不管这个距离有多小,但只要乌龟不停地奋力向前爬,阿喀琉斯就永远也追不上乌龟!也就是说,阿克琉斯永远也追不上乌龟!

这只龟就不一般啊,因为它的的出现困扰了数学家一千多年。

就当大家为这只乌龟想秃了头时,微积分出现了!大家仿佛看到了希望的曙光。

因为微积分的极限思想和芝诺悖论有着同样的本质,意味着只要解决微积分里的极限问题,也就顺带着可以解决了这只乌龟。

微积分里的爱恨情仇

说到微积分,不得不说提到牛顿和莱布尼茨这两大巨头,毕竟他们俩为了争夺“微积分”的版权互掐了半辈子,以至于两个人的个人问题都没解决(都单身)。

1665年夏天,因为英国爆发鼠疫,学校关闭,本来要去剑桥大学任教的牛顿只好去母亲的农场里呆了一年。

牛顿毕竟是牛顿,在农场帮老妈管理的日子他还顺便搞起了研究。

三大运动定律、万有引力定律和光学的研究也都是开始于这个时期。在研究这些问题过程中,他发现了他称为“流数术”的微积分。

在1666年,他虽然写几篇关于流数术的文章,但他并没有公开发表,只是在一些英国科学家中流传。

同样的,来自德国的莱布尼茨在1675年也发现了微积分,但是发现归发现,跟牛顿一样,低调的他,也没有具体的发表这方面的文章。

直到1684年,莱布尼茨才正式发表他对微分的发现。

两年后,他又发表了有关积分的研究,在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下,然后很快传遍了欧洲。到1696年时,已有微积分的教科书出版。

起初没有人来争夺微积分的版权。但是1699年,一名移居英国的瑞士人为了讨好英国人,指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的流数术,但此人并无威望,遭到莱布尼茨的驳斥后,这件事也不了了之。

据传那个瑞士人与莱布尼茨也有点私人恩怨,可能也是想搞搞莱布尼茨。

微积分教科书的出版后,牛顿坐不住了,毕竟自己早就发现了这个成果,只是低调没有发表,想不到被你这个莱布尼茨抢了先。

于是在1704年,牛顿在其光学著作的附录中,首次完整地发表了其流数术

但是当年出现了一篇匿名评论,反过来指责牛顿的流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分。

于是究竟是谁首先发现了微积分,就成了一个需要解决的问题了。

1711年,英国王家学会会员约翰·凯尔在致王家学会书记的信中,指责莱布尼茨剽窃了牛顿的成果,只不过用不同的符号表示法改头换面。

身为王家学会会员的莱布尼茨也不是吃素的,要求王家学会禁止凯尔的诽谤。

可是又有什么用呢,要知道,此时牛顿可是王家学会的会长。

而且牛顿还装得一手好路人。虽然在公开的场合,他假装与这个事件无关,但是这篇调查报告其实是牛顿本人起草的。他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章。

于是王家学会调查此事后,认定牛顿首先发现了微积分,并谴责莱布尼茨有意隐瞒他知道牛顿的研究工作。所以牛顿胜出!

但后人通过研究莱布尼茨的手稿发现,莱布尼茨和牛顿是从不同的思路创建微积分的:

牛顿是为解决运动问题,先有导数概念,后有积分概念;莱布尼茨则反过来,受其哲学思想的影响,先有积分概念,后有导数概念。

牛顿仅仅是把微积分当做物理研究的数学工具,而莱布尼茨则从几何问题出发,运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则,所以其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。

所以现在一般也把牛顿和莱布尼茨共同列为微积分的创建者。

第二次数学危机的前世今生

微积分的版权问题虽然解决了,但是又有一个新的问题出现了。

微积分里面,有一个量叫做“无穷小”,那这个无穷小会不会是零?

在当时起了极大的争论,有个叫贝克莱的小伙子就坐不住了。

在1734年,他写了一本书。在书里,贝克莱对牛顿的理论来了个致命一击,指出在求x的平方的导数时,会出现以下矛盾。

他认为这在无穷小量在实际应用中,它必须既是0,又不是0,

关于这个贝克莱,那他就不是“一般人”,他有一句名言:“存在就是被感知”

据说有一次,贝克莱突发奇想,他想知道上吊是什么感觉,行动派的他说干就干!

如果不是有朋友及时赶到,他早就死翘翘了。

被这么个“猛子”盯上,牛顿慌了,心想当初还不如版权给莱布尼茨还没这么多事呢。

虽然在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的,但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。

本来就有点发虚的牛顿被贝克莱咄咄逼人的气势吓的,一会儿说无穷小是零,一会又说不是零。

因此,贝克莱嘲笑无穷小量是:“已死掉的幽灵”。

于是继龟龟问题后,有关无穷小是不是0的问题又成了第二个让数学家们头痛的问题。第二次数学危机正式爆发。

好在到了19世纪,以柯西与康托尔为代表的,一大批顶尖数学家经历了半个多世纪,终于建立起了严谨的极限理论和实数理论。

柯西认为把无穷小量作为确定的量,即使是零,都说不过去,它会与极限的定义发生矛盾。

无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量,因此本质上它是变量,而且是以零为极限的量,至此柯西澄清了前人的无穷小的概念,而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来,第二次数学危机基本解决。