黎曼猜想:是谁留下这么难的题,让最聪明的头脑失去理智

?迈克尔·阿蒂亚

从时间上看,上一次费马猜想被解决,花费了3个半世纪;哥德巴赫猜

想至今已过去两个半世纪,依然等待着最终的尘埃落定。159岁的黎曼

猜想,或许还太过年轻。

文 ?杨宙

一闪而过

看上去,人类可能与一个文明闪耀的时刻失之交臂了。9月24日,89岁的阿蒂亚爵士登上海德堡论坛。在45分钟的演讲里,他尝试通过几张简洁的PPT里“简单而全新”的方法,证明有着159年历史的黎曼猜想。一周前,他通过邮件宣称自己解决了这一数学难题。

数学家伯恩哈德·黎曼留给世人的黎曼猜想,被公认为数学史上最重要的问题之一。当今有一千多条数学命题都是以黎曼猜想的成立为前提。因为阿蒂亚在数学界首屈一指的地位——他在半个多世纪里先后拿下了菲尔兹奖和阿贝尔奖两个数学界最崇高的奖项,他的邮件引起了少有的一次数学“地震”。

消息发出当天,《数学文化》主编汤涛的邮箱就塞满了讨论邮件,最明显的是那些数学家们原本克制的形容词——过去至多就是“big”和“surprise”,而这一次直接冲到了“shocking”级别。但真正从事与黎曼猜想相关研究的学者们都对此保持沉默,以至于阿蒂亚在海德堡论坛演讲完之后,现场陷入了1分钟的安静,随后只有一位非数学领域的年轻人向他发出全场第一个提问:“是否解决了黎曼猜想?”

在黎曼猜想的探索长河中,阿蒂亚的这一页尝试翻篇了。没有人知道下一次的波澜会在何方。

年迈的阿蒂亚倚在讲台上,坚定地回应:“这是由你的逻辑决定的。原始的黎曼猜想我是证明了,除非你是那种不接受反证法的数学家。”

这是科学界少有的尴尬时分。《科学》杂志随后联系采访时,尽管没有同事或学生愿意公开提出批评,但是从他们隐晦含糊的措辞中,已经透露了对这次证明的悲观看法。

加州大学河滨分校的数学物理学家John Baez提出了最直接的意见:“该证明只是将一个大胆的主张叠加在另一个之上,没有任何关联的论证和真正的证据。”数学家丘成桐也在近日接受媒体采访时称:“我问过一批专家,大家都说这篇文章没有提供一般数学家要求的严格性的定理证明。”

众人对于黎曼猜想最热切的一次讨论,或许就这样在海德堡一闪而过了。

“漫长之路

如同一个世纪的遥望。1900年,巴黎的国际数学家大会上,德国数学家希尔伯特提出了对数学发展意义重大的23个问题,黎曼猜想是其中之一。一个世纪后的2000年,美国克雷数学研究所也在巴黎召开了一次数学会议,列出了本世纪的7个数学难题,并为每个难题设立100万美元的奖金,黎曼猜想仍在其中。

卢昌海记得,在自己书写《黎曼猜想漫谈》的8年里,除数值计算外,黎曼猜想没有任何大的进展,偶有几个声称自己证明了猜想,最后也不过是乌龙。

他的书中记录了一系列前赴后继攀登黎曼猜想这座高峰的数学家们。其中最令人唏嘘的,莫过于对黎曼函数中非平凡零点的推进——用通俗的话来解释就是,要证明是否所有符合条件的点都在一条临界线上,而很长一段时间里,结果都是百分之零。

1942年,挪威数学家塞尔伯格证明了这个百分比大于零。那时正值第二次世界大战,他躲在挪威奥斯陆大学里,因为数学期刊已无法送达,他就像在一座孤岛的监狱里孤独战斗。

19 74 年,列文森在生命的尽头将进度条推进到了34%,一年后去世。1989年,这个数值被美国数学家康瑞推到了40%。后来,该数值被微幅推进为41.28%,是迄今为止黎曼猜想研究中的最强结果。

研究黎曼猜想就像一条殉道之路,数学家将毕生投入其中,大多未见尽头。《美丽心灵》中的主角、美国数学家约翰·纳什在1950年代后期研究过黎曼猜想,但不久后便患上精神分裂症,上台发言时已经语无伦次。希尔伯特在提出23个重要问题后,也不再相信有生之年能见到黎曼猜想的证明。因此有人问他,如果500年后重回人世最想问什么问题时,他毫不犹豫地回答:“是否已经有人解决了黎曼猜想?

如今,黎曼在一个多世纪前写下的那本手稿被存放在了哥廷根大学的图书馆里,它的面前时常人来人往,数学家们从世界各地前来,希望从中找到哪怕一点微小的启发。

数学之心

正如阿蒂亚在接受采访时所说:“大脑中用来欣赏音乐、艺术及诗词之美的部位,也同样用来领悟数学之美。”真正让数学家们孜孜不倦、日复一日投身其中的,不是实用主义上的成果,而是“一种你曾经看到过的东西,即真理或者真实存在,它就在那里凝视着你……它就在纸上闪闪发亮。”

事实上,在阿蒂亚发表演讲前,就有不少人对他抱有悲观态度,毕竟在过去的几次研究里,阿蒂亚没有再像过往一样给人们带来惊喜的成果。

87岁时,他用一篇语义含糊的论文试图解决一个60多年前的数学难题,结果被证明是错误的;88岁时,他声称要将一个长达255页的定理证明简化成12页,结果没有通过同行评议。如今他89岁了,试图挑战数学中最艰深的问题,不少人谈论,如果不成功,岂不是“晚节不保”?

没有人确保他不是老糊涂了。只有他自己,在早前接受访谈的时候早已对自己未来的选择做出预言:“我的声望是通过作为一名数学家得到的。如果我现在把它弄得一团糟,人们将会说,是的,他曾经是一名优秀的数学家,但在他生命将要结束时,他丧失了理智。

“就在我进入物理领域的时候,我的一个朋友约翰·鲍金霍恩离开了物理,他去了教会并成了一名神学家。在我80岁的生日上,他跟我说,‘你没有什么可以失去的了,尽管勇往直前,去思考你想思考的事情。’我已经得到了我需要的所有奖项,我还能失去什么?”

阿蒂亚在海德堡论坛上演说完毕后,现场无人反驳,也无人赞许,原本举世瞩目的论坛很快进入了咖啡时间。只有几个年轻人围着坐在轮椅上的阿蒂亚,谈论着一些与黎曼猜想核心无关的话题。

在黎曼猜想的探索长河中,阿蒂亚的这一页尝试翻篇了。没有人知道下一次的波澜会在何方。但正如《数学文化》的主编汤涛所言,无论它会在什么时候发生,可以预知的是,如果人在一辈子中能够看到黎曼猜想被证明,“那么他们正是活在一个非常辉煌的时代”。

(部分资料来源于卢昌海《黎曼猜想漫谈》、

赛先生《阿蒂亚:美妙的数学之梦》)

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