很多人以为自己是数学天才,直到遇见了极限

  反比例函数是大家接触最早和最熟悉的函数之一,它的函数解析式是y=k/x(k为常数,k≠0)。我们利用反比例函数的解析式,就可以画出它的图像,如下图所示:

  根据函数的图像可知,在k>0情况下的第一象限内,反比例函数中x的值无限变大,大到无穷的时候,曲线就不断向x轴靠近,换句话说y的值逐渐向“0”靠近;或者是y的值无限变大,曲线就不断向y轴靠近,x的值逐渐向“0”靠近。

  此时,有些人就会产生一些疑问,当这个x的值取到非常大、非常大、非常大的时候,y的的值和“0”之间存在什么样的关系呢?会相等吗?

  对于类似这样的疑惑,我们从现代数学“极限”的角度出发,就很好回答,但在几百年前,像这样的问题在当时却属于一个世界性的难题。

  我们知道,对于某一个函数,假设其中的某一个变量x,它在无限变大(或者变小)的这一变化过程中,导致另一个变量y逐渐向某一个确定的数值m不断地靠近,不过最终的结局只能是不断的接近“m”,却永远都无法跟“m”重合。

  简而言之,某一变量x处于无限变大或无限变小这一变化过程,那么另一个变量y的值永远都不会等于m,但只要变量x一直处于无限变大或无限变小中,那么y的值可以取等于m,这就是极限的思想。

  因此,如果一个人要想理解“极限”这一抽象数学概念,那么就需要学会接受和明确知道极限是一种“变化状态”的描述,变量y有不断地努力靠近m点的趋势。此时,变量y永远趋近的值m就叫做“极限值”。

  极限作为微积分、数学分析等重要内容的基础,可以说是初等数学迈入高等数学一个关键门槛。正如所有的数学知识概念出现的背景一样,极限也是属于社会经济发展和科学技术之间产生的“矛盾”产物。

  在早期16世纪的欧洲,一些国家开始进入资本主义萌芽阶段,整个社会处于快速变革状态,生产力得到极大的发展,出现一些最基本的工业化。人们在发展过程中,发现很多生产技术都出现问题,跟不上社会发展的速度,当时的数学知识已经无法顺利解决一些“变化的量”,如运动变化、天文学、机械化、航海、采矿、大坝建造等,都需要新的数学知识才能解决。

  初等数学很多时候只能解决一些相对“稳定”的量,但在现实工作生活中,充满了大量“变化的量”,这就要求数学必须突破现有的知识壁垒,能够找到一种可以描述和研究运动、变化过程的新数学知识,最终解决这些“变量”问题。基于当时这样的社会发展背景,数学家都努力尝试突破传统的思维模式,直接促进“极限”思维的形成和发展,从而建立微积分等重要数学分支。

  最早的时候,牛顿和莱布尼茨在各自的领域创立了微积分,让“极限”的发展拥有了正是展开拳脚的舞台。在当时,微积分一经创立诞生,就帮助很多人顺利解决了以往在运动变化、力学、天文学等中认为束手无策的难题,数学也迎来了新的发展。

  不过,牛顿和莱布尼茨所创立的微积分并不是十分完善,特别是在一些关键疑难点没有讲清楚,如“无穷小量”的解释,逻辑上存在着很多混乱,尽管当时的“初始微积分”已经能轻而易举解决一些实际工作中的难题。

  就像牛顿的瞬和流数或是莱布尼茨的dx和dy,都需要解决和讲清楚“无穷小量”这一特殊概念,但这两位伟人都没有给出明确、严谨的定义。

  为什么“无穷小量”会这么重要呢?

  我们都知道,在微积分的推导或运算过程中,常常需要先用“无穷小量”作为分母进行除法,然后又把“无穷小量”当作零来处理,以消除那些包含有它的项。

  那么问题就来了,“无穷小量”究竟是零还是非零呢?

  因为如果它是零,怎么能用它去作除数呢?如果它不是零,又怎么能把包含它的那些项消除掉呢?这种逻辑上的矛盾,直接或间接影响微积分的发展,更让所有数学家不仅意识到“极限”这一概念的重要性,更明白极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。

  当时的人们束缚于狭小的观念里,还是以传统的数学思维方式去看待“极限”,试图用“零误差”去进行变量计算,这样的思维方式只能导致悖论的发生,这就是数学史上所说的“无穷小量”悖论产生的原因。

  牛顿和莱布尼茨在晚期都不同程度地接受了极限思想,也都努力去尝试解决这一“神秘”概念,试图以极限概念作为微积分的基础。

  很多可惜,牛顿和莱布尼茨为都无法完整得出极限的严格表述。

  虽然当时的人们没有弄清楚“极限”这一概念,但微积分的出现,确实促进社会的发展。随着微积分应用的更加广泛和深入,大家都意识到需要解决“极限”这一问题,要有严谨、逻辑的数学语言对其进行完整描述。

  加上人类文明不断向前进步,遇到的问题越来越复杂,这就要求数学必须推出明确的概念、合乎逻辑的推理和运算法则。

  进入19世纪之后,法国著名数学家柯西比较完整地阐述了“极限”的概念,以及相关的理论。柯西在《分析教程》中指出:当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值就叫做所有其他值的极限值,特别地,当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为“无穷小量”。

  柯西把“无穷小量”视为“以0为极限的变量”,这就准确地确立了“无穷小量”概念,“无穷小量”就是极限为“0”的变量,在变化过程中,它可以是“非零”,但它的变化趋向是“0“,无限地接近于“0”,可以人为用等于0方式去处理。

  直白地讲,在变量的变化过程中,它的值实际上不等于“0”,但它变化的趋向是向“0”,可以无限地接近于“0”,那么人们就可以用“等于0”的方式来处理,就不会产生错误的结果。

  极限论正是从变化趋向上说明了“无穷小量“与“0“的内在联系,从而澄清了逻辑上的混乱,完善了微积分的发展。

  柯西在《分析教程》中,不仅对极限概念进行基本明确的叙述,并以极限概念为基础,对“无穷小量“、无穷级数的“和”等概念给出了比较明确的定义。

  “极限”这一重要理论之后又经过波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等人的努力工作,进一步把极限论建立在严格的实数理论基础上,并且形成了描述极限过程的ε-δ语言。

  要想学好高等数学,就要弄清楚“极限”这一重要概念,认识到它是一个动态无限变化的过程,这样变化的趋势可以等于某一个常量。这一极限思想是建立微积分理论的重要思想基础,对数学等众多学科的发展有着的重大意义。