暑假对于新初三生来说,重要性就像再读一次初二

初二升初三的暑假,作为初中生最后一个时间长度最长的假期,用得好,不仅可以帮助大家复习巩固好已学知识,更可以为初三的紧张学习做好准备,因此暑假可以说是一段非常重要的时间段。

数学作为中考的核心科目,很多时候其分数变化对中考能起到决定性的作用。在数学学习中,我们经常需要用到很多数学思想方法,如数形结合思想方法就是数学解题中最常用的思想方法之一。

什么是数形结合思想方法?

数形结合思想是指从几何直观角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻找代数问题的解决途径,或利用数量关系来研究几何图形的性质、解决几何问题的一种数学思想。因此,数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化。

运用数形结合的思想,我们可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,这样很多问题便迎刃而解,且解法容易理解和消化。

数形结合思想的运用,典型例题分析1:

如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA,OC分别落在x轴、y轴上,连接AC,将矩形纸片OABC沿AC折叠,使点B落在点D的位置,若B(1,2),则点D的横坐标是 .

∵四边形OABC是矩形,

∴OC∥AB,

∴∠ECA=∠CAB,

根据题意得:∠CAB=∠CAD,∠CDA=∠B=90°,

∴∠ECA=∠EAC,

∴EC=EA,

∵B(1,2),

∴AD=AB=2,

设OE=x,则AE=EC=OC﹣OE=2﹣x,

在RtAOE中,AE2=OE2+OA2,

即(2﹣x)2=x2+1,

解得:x=3/4,

∴OE=3/4,AE=5/4,

∵DF⊥OA,OE⊥OA,

∴OE∥DF,

∴OA/AF=OE/FD=AE/AD=5/8,

∴AF=8/5,DF=6/5,

∴OF=AF﹣OA=3/5,

∴点D的横坐标为:﹣3/5.

故答案为:﹣3/5.

考点分析:

翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质。

题干分析:

首先过点D作DF⊥OA于F,由四边形OABC是矩形与折叠的性质,易证得AEC是等腰三角形,然后在RtAEO中,利用勾股定理求得AE,OE的长,然后由平行线分线段成比例定理求得AF的长,即可得点D的横坐标.

解题反思:

此题考查了折叠的性质,矩形的性质,等腰三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识.此题综合性较强,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.

数形结合思想的运用,典型例题分析2:

周六上午8:O0小明从家出发,乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动,在基地活动2.2小时后,因家里有急事,他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回.同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他,在离家28千米处与小明相遇.接到小明后保持车速不变,立即按原路返回.设小明离开家的时间为x小时,小明离家的路程y(千米)与x(小时)之间的函致图象如图所示.

(1)小明去基地乘车的平均速度是   千米/小时,爸爸开车的平均速度应是   千米/小时;

(2)求线段CD所表示的函敛关系式;

(3)问小明能否在12:0 0前回到家?若能,请说明理由:若不能,请算出12:00时他离家的路程.

解:(1)仔细观察图象可知:小明去基地乘车1小时后离基地的距离为30千米,

因此小明去基地乘车的平均速度是30千米/小时,

在返回时小明以4千米/时的平均速度步行,行驶2千米后遇到爸爸,

故他爸爸在0.5小时内行驶了28千米,

故爸爸开车的平均速度应是56千米/小时;

故答案为30,56;

(2)线段CD所表示的函敛关系式为y=kx+b(3.7≤x≤4.2);

通过观察可以发现线段CD经过点(3.7,28),(4.2,0);

将两点代入函数解析式即可得线段CD的表达式:y=235.2﹣56x(3.7≤x≤4.2);

(3)不能.

小明从家出发到回家一共需要时间:1+2.2+2÷4×2=4.2(小时),

从8:00经过4.2小时已经过了12:00,

∴不能再12:00前回家,此时离家的距离:56×0.2=11.2(千米).

考点分析:

一次函数的应用.

题干分析:

(1)仔细观察图象,结合题意即可得出答案;

(2)先设一次函数的解析式,然后将两点坐标代入解析式即可得出线段CD所表示的函敛关系式;

(3)根据图象和解析式可知小明从出发到回家一共需要4.2小时,故12:00前不能回到家.

解题反思:

本题主要考查了一次函数的实际应用,解答一次函数的应用问题中,要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义,属于中档题.

所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合,常与以下内容有关:

1、实数与坐标轴上的点的对应关系;

2、函数与图象的对应关系;

3、函数与方程的对应关系(如二次函数与一元二次方程等);

4、以几何为背景建立起来的数学模型,综合运用代数、函数等知识,此类型题难度较大。

数形结合思想的运用,典型例题分析3:

如图,正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G,连结GF,给出下列结论:

∠ADG=22.5°;

tan∠AED=2;

SAGD=SOGD;

四边形AEFG是菱形;

BE=2OG;

若SOGF=1,则正方形ABCD的面积是6+4√2,其中正确的结论个数为(  )

故选B.

考点分析:

四边形综合题.

题干分析:

由四边形ABCD是正方形,可得∠GAD=∠ADO=45°,又由折叠的性质,可求得∠ADG的度数;

由AE=EF<BE,可得AD>2AE;

由AG=GF>OG,可得AGD的面积>OGD的面积;

由折叠的性质与平行线的性质,易得EFG是等腰三角形,即可证得AE=GF;

易证得四边形AEFG是菱形,由等腰直角三角形的性质,即可得BE=2OG;

根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF,AB=GF,再由∠BAO=45°,∠GOF=90°可得出OGF时等腰直角三角形,由SOGF=1求出GF的长,进而可得出BE及AE的长,利用正方形的面积公式可得出结论.

解题反思:

此题考查的是四边形综合题,涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识.此题综合性较强,难度较大,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意数形结合思想的应用.

数形结合思想的运用,典型例题分析4:

已知,如图,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)图象的顶点为H,与x轴交于A.B两点(B在A点右侧),点H.B关于直线l:y=√3x/3+√3对称.

(1)求A.B两点坐标,并证明点A在直线l上;

(2)求二次函数解析式;

(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M.N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.

考点分析:

二次函数综合题;解二元一次方程组;待定系数法求二次函数解析式;抛物线与x轴的交点;图象法求一元二次方程的近似根;勾股定理.

题干分析:

(1)求出方程ax2+2ax﹣3a=0(a≠0),即可得到A点坐标和B点坐标;把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上;

(2)根据点H.B关于过A点的直线l:y=√3x/3+√3对称,得出AH=AB=4,过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,求出AC和HC的长,得出顶点H的坐标,代入二次函数解析式,求出a,即可得到二次函数解析式;

(3)解方程组,即可求出K的坐标,根据点H.B关于直线AK对称,得出HN+MN的最小值是MB,过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,得到BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,由勾股定理得QB=8,即可得出答案.

解题反思:

本题主要考查对勾股定理,解二元一次方程组,二次函数与一元二次方程,二次函数与X轴的交点,用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目,有一定的难度.

从近几年中考试题的变化,我们不难发现如果能巧妙运用数形结合这一方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,希望大家能好好利用暑假,学好用好这一数学思想方法。