“独孤信印”上了高考数学试卷

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撰文 | 刘 钝

今年全国高考理科数学II卷有一道填空题,涉及到一个叫做 “独孤信印” 的多面体。笔者曾在《数学文化》2018年第1期发表一篇小文,详细描绘了独孤信印的由来、几何构造及求棱长的算法。不知命题人是否看过那一期的《数学文化》或推送过该文的《科学春秋》微信公众号(独孤信印与秦汉酒骰的几何学),但可以肯定的是,中学数学教科书不含半正多面体的内容,此前从数学结构的角度来讨论这一出土文物的似乎也仅见笔者一家。难怪连日来网上关于这道题的讨论热闹非凡,有人留言说 “果然是独孤天下了”,大概是说题目出得有些偏。

以下为原题:

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学II试卷第16题

依笔者看,这个题目还是蛮好的,除了前述拙文介绍的解析几何解法外,还可以借助普通的平面几何、立体几何或三角知识来解,难度不算太大,分数比例也不高(两小问共5分),但有利于拉开善于灵活解题考生与啃书族的差距,特别是有助于考察优秀学生的几何直观。

现在网上已经公布了所有解答题的标准解法,唯选择与填空题只给出正确答案而不及解法。这里笔者再提供一个利用平面几何求此半正多面体棱长的解法,关键是要根据提示的“所有顶点都在同一个正方体的表面上”画出这个正方体来,如下图:

48等边半正多面体棱长与其外切正方体棱长的关系

根据形体对称与顶点在正方体面上这两个条件,可知上图中三角形ABC是个等腰直角三角形,

至于这个半正多面体的面数,根据图示并考虑形体的对称性,不难看出共有26个面:其中18个为正方形,8个为正三角形。

媒体上有个留言颇合吾意,说 “终于有媒体在高考结束之后讨论数学题了,算是全民数学启蒙的开始吧,数十年来,每次高考结束,所有媒体都在讨论语文试卷,讨论语文作文,高考只考语文吗?不是的,因为媒体记者们只看得懂语文,数学物理化学生物,理科类的高考内容是在媒体人们的理解外的。全民科普,普及理科知识也是重中之重啊!” 至于 “没事就应该多带孩子逛逛博物馆”,乃至这两天陕西省博物馆里这个小物件前挤满了学生和家长;还有对 “最牛老丈人” “最美大将军” 的关注,那都超出笔者的预期了。

附.立体解析几何求棱长法

将48等边半正多面(独孤信印的几何体)及其外切立方体置于三维直角坐标系内,如上图。设半正多面体棱长为a,已知立方体棱长为1,则有:

参考文献

刘钝.2018.独孤信印与秦汉酒骰的几何学.数学文化.第9卷第1期.62-69.(互见《科学春秋》公众号)

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学II试卷.