周末搭了个蔡氏电路，体验一下“狐狸精”
蔡氏电路，电路中有“狐狸精”，千娇百媚，只因混沌。谈到混沌许多人可能只知道蝴蝶效应。混沌无处不在，在电路里出现混沌也不奇怪。只要稍微学一点电子线路，你自己也能搭建一个蔡氏电路。
撰文 | 吴建永（美国乔治城大学神经科学系教授）
电路似文章
电路就是用电子元件写成的文章。电子元件像汉字，连在一起先成句，再成篇。唐诗三百，每首不过几十个字；电路千万，也不过几种基本元件。然天下电路千万，干嘛非要搭个“蔡氏”电路呢？ 概因普通电路都似八股文，虽起承转折一丝不苟，然读者却能一眼看穿，全没意思。而蔡氏电路则似聊斋故事，内藏狐狸精，千娇百媚，时而花蝴蝶，时而暴风雨，阴晴无常，套路之多竟然没有一丝重复。引得天下老司机趋之若鹫，研究文章上万篇，各种科学杂志上灌水。我虽生物狗一枚，却也难敌色诱，故在周末来趟个浑水。
千娇百媚狐狸精
怎个叫千娇百媚？就是电子在电路里跑的没规律。我们都知道电路里有大批电子在跑。一个小电路，也有一亿亿个电子。在一般电路里，电子循规蹈矩规矩，上班一条路，回家一条路，一眼就能看到退休。而在蔡氏电路里，电子不安分，可以一杆子一杆子（一股一股）地跑，可以一会儿前进一会儿后退，方向流量竟然无常。倾天下最强之超级计算机，也只能估计个大概，绝对不能精确推演出未来。
就有点像天气预报，风云雨雪，超级计算机只能估计个大概，超过一星期就不行了。蔡氏电路里的电流和大气中的湍流有类似的规律，就是所谓“混沌”行为。
湍流随处可见，河水中的漩涡，香烟里的飘逸，随处可见。可是这些毕竟发生在野外，千奇百怪，稍纵即逝难以研究。而蔡氏电路要填补的科学空白就是在实验室里搭上一个永不消失的漩涡，让你看个够。下图显示屏上的就是蔡氏电路产生的漩涡。
来自 https://www.chaotic-circuits.com/8-simulating-chaus-circuit-with-ltspice/
蔡氏电路的由来
蔡氏电路是受混沌大侠洛伦兹的启示而诞生的。当年洛伦兹用计算机研究天气预报，发现用同样的数据，小计算机和大计算机算出来的预报竟然完全不同。这是因为小计算机精确到小数点后三位（不好意思，1960年代），大计算机可以精确到六位。那么是否计算机更大就更精确呢？一般人也许就是这么想了，可是人家洛伦兹（Edward N. Lorenz）不是一般人，老北京话叫“全须儿全尾儿”的数学家，居然慧眼看出不是计算机精度的问题，而是问题本身的不可预测性。其不可测就是因为大气湍流中有混沌，就是已经被中文科普得臭了大街的“蝴蝶效应”。洛伦兹把他的想法用数学语言表达出来，得到洛伦兹方程（图1）。
图1 洛伦兹方程（左）和用方程画出的曲线（右），确实很像一只蝴蝶
看看从洛伦兹方程跑出来的蝴蝶，比比题头图中示波器里的曲线，是不是有一种神似？蔡氏电路就是用电子元件来实现洛伦兹方程的精华。而他的发明者，华裔科学家蔡少棠（Leon O. Chua，1936-），是个像洛伦兹一样的聪明人。洛伦兹用数学语言描述了这个自然界不可言传的秘密，而蔡用电子工程的语言描述了同样的理念。
说起蔡氏电路的发明还有一段佳话。当年洛伦兹公式发表之后，日本早稻田大学的松本教授立志要用电子元件搭出洛伦兹方程。可惜他忙活了三年，路子却错了。因为他是用电路模拟洛伦兹方程里的每一个参数，结果线路越来越大，几千个元件铺了一大桌子，却只能形似，不能产生混沌。蔡先生本来是来松本实验室学习的访问学者，第一天来实验室，看了一眼那一大桌子，差点受了刺激，心中琢磨这个大boss一定是内卷了。蔡先生想到洛伦兹公式只有两个非稳定点，也许只要少数几个非线性元件就能实现。他回到招待所后夜不能寐，到处找纸，最后在纸巾上画了只有五个元件的简单线路。第二天他交给大boss，一试果然能产生混沌。一天战胜三年，五个元件战胜一大桌子，这段温酒斩华雄般的佳话我一直念念不忘，科学家的成功不过如此[1]。蔡少棠就是“虎妈”他爸，虎妈式的训练讲究死板重复，疲劳轰炸。而蔡先生却是心有灵犀的典范，反差大矣。
图2 基本的蔡氏电路。L， 电感线圈；C1，C2，电容器；R，电阻；NR，蔡氏二极管。每个元件的作用和特征见正文。
看懂蔡氏电路
让我带您见识一下蔡氏电路吧，别怕，不懂电子工程没关系，我也没学过。电子工程不过是一门外语一样的专门语言。语言虽不通，道理还是很容易懂的，只要把术语翻译成日常语言，文科的你也能了解故事的奇妙。
蔡氏电路里只有五个元件，电感L、电容C1，C2、电阻R，和一个怪东西NR。所有元件的共性是都有上下两条“腿”，供电流进出。比如电流从上面进，下面出，或者从下面进上面出。图2中水平的黑线是电线，黑点是电线和元件的接点。因此另一个共性是，所有元件的两条腿都分别连在两根电线上，这样从一个元件流出的电流可以顺着电线走进另一个元件。
要看懂一切电路的奥秘，就是要先从两个连在一起的两条腿元件开始。为讲清楚，我们先研究一个更著名的电路（图3），就是照亮世界的手电筒电路。
图3 由电池和灯泡连接成的简单电路
在图3的电路中，电池（左）和灯泡（右）都是两条腿的电子元件，把它们用电线（图中红线）连在一起，一个奇妙的现象就出现了：小灯泡大放光芒！具体地说，电池里的化学能量驱动大量电子流过灯泡，电子在灯丝里与金属晶格碰撞释放能量，把灯丝烧热发光。在这么个简单的电路里，每秒钟大约有300亿亿个电子流过。电线一断，电流就停止了，灯泡也不亮了。
电子学里的著名原理
手电筒电路虽简单，但包含了电子学里最重要的一个原理，即电路都要有一来一回，来路和回路流过的电流完全相等。在图3中，上下两个绿箭头标注的是电流的方向，上面流向灯泡，下面流出灯泡。一来一回必须完整，而且来回的电流值完全相等。你看，这么几句白话就说清了你在大学里花好多学费才能学到的基尔霍夫定律。教我电路的导师是路口修手机的李癞子，他有名言曰，“学会基尔霍夫定律，走遍天下都不怕。”你再见到任何电器，都要下意识地找它的两条腿，电流从哪进，从哪出。
有个喜欢抬杠的朋友说，为啥我的iPhone耳机只有一根线啊？这是为了方便，把两个线做成一股。不信你把线剪断了看看？还有个爱抬杠的朋友说那计算机芯片有几百条腿，这回路还怎么算？其实这芯片不过是由很多个两条腿的元件组合罢了。比如电流回来的路可以共用一条，把它叫地线（图3，图3里下面那条线都可以叫地线），其他几百条线代表几百个电池或灯泡那样的两条腿元件。
您如果能耐心读到这里，已经是一半出师了。下面分析蔡氏电路里的狐狸精，我们需要有一些狐狸精心态。当然方法还是一样的，先考虑图4A中两个连在一起的元件。左边个弯弯绕元件叫电感（L），右边那个片片叫 电容（C）。
图4 LC电路 A：一个线圈和一个电容组成的LC电路，中间是电路图，左边是线圈的实物，右边是电容的实物；B：LC电路的行为：电流来回流动，或称为“振荡”；C：由于电路中有能量损耗，振荡的幅度会越来越低。
电感电容电器的半推半就
您不懂电感电容不要紧，恋爱一定谈过吧？肯定懂得成功的恋爱一定要有半推半就。电感电容连在一起就像一对半推半就的恋爱伙伴。电容像主动的一方，一股电流，热辣辣地放过来，它一点也不躲闪，照单全收。而电感则像被动的一方，对方放电的时候开始完全抵制，然后慢慢接受。这两位连在一起是绝配：开始的时候电子被电容照单全收，因此电流流进电容；然后电感逐渐放下架子，电流又从电容流向电感，这么来来回回。电流就像图4B 左面那样，一会从电感流向电容，一会又从电容流向电感。这种来来回回，用电子工程的行话讲就叫“振荡”。当然，振荡和谈恋爱一样，不可能永远甜蜜。所以实际情况就像图4C那样，随着时间，激情会越来越少，振荡幅度越来越低。
蔡氏二级管
凡是能拍四十集的恋爱剧，通常需要有个亿万富翁的老丈人或者公公之类不断为男女主角提供财力支援，这才能让恋爱故事波动不已。振荡电路也是一样，需要不断供应能量，才能不像图4C的曲线那样逐渐死去。
蔡氏电路里的“蔡氏二级管”（图2最右边那个NR）就是这样的“掏钱角色”。给振荡电路提供能量的方法有很多种，而这蔡氏二级管就是个奇葩，有了它才能产生奇葩的混沌。为啥说它是奇葩呢？因为它有个叫“负电阻”的反常特性。我们知道一个正常的两条腿元件，两端的电压越高，则流过这个元件的电流越大。而蔡氏二级管正好相反，当两端电压降低时，流过它的电流会增加。这样只要振荡幅度（电压）低了，蔡氏二级管就会提供额外的电流，让振荡持续下去。
蔡氏二级管是个本来不存在的元件，是蔡先生想象出来的。据蔡先生回忆，他的原始构想是用最少的元件来满足洛伦兹方程组的条件。因此他先画出多个草图，再利用基尔霍夫定律把元件合并在一起（这过程有点像我们做数学题时候的整理公式）。做到最后，电路里只剩下5个元件，但其中一个是自然界里没有的两条腿元件“负电阻”。这负电阻虽然在自然界中是没有的，但可以通过公式定义出来。所以第二天蔡先生交给松本教授的电路，是先在计算机上的电路模拟器上实验成功的。而真正的电路，则是半年之后由蔡先生的学生做出来的。我们现在搭的电路是用两个运算放大器来模拟出蔡氏二级管（图5）。然而，只有蔡氏二级管这个奇葩还不足以产生混沌现象。下面我再送您个惊奇大礼包。
什么情况？有小三！
仔细看图2的蔡氏电路，绝对会有个大发现，这里居然有两个电容。除了左边那个电感和电容组成的正常恋爱小两口，中间那个电容（C1）分明是个扮演主动角色的第三者嘛！说它是第三者一点也不冤枉，因为它和左面的正常小两口（电感电容）之间有个电阻作隔离。我不说您也能理解，凡是插足恋爱的小三故事都要有各种各样的隔离，而且隔离不能太小或太大。隔离太大了小三只能像空气一样被忽略，而隔离太小了就会产生大悲剧，导致电视剧一集就断片。所以不大不小的隔离是产生狐狸精的关键。
说实在的，这蔡氏电路比狗血电视剧高明得多，就是利用这个小三来提供洛伦兹公式里描述的两个不稳定状态。思路是这样的：当用一个LC电路和蔡氏二级管组成电路时，会产生振荡，就是电子来回跑的非稳态现象；而如果再加一个小三，再引入一个新的不稳定因素，这样就能产生混沌。根据这个套路，后来很多学者系统地研究了蔡氏电路，基本上认为能产生混沌的电路内一定要有个半推半就的振荡器。有意思的是，这居然还是个没有被证明的猜想，叫作 Elwakil and Kennedy conjecture[2]。
周末搭个蔡氏电路
这么简单的电路，又这么神奇，像我这样的电路强迫症患者如果不搭个玩玩，简直是虚度此生了。值得安慰的是美国像我这样的怪人很多，网上一找，各种经验分享很多。于是我没费什么功夫就搭了一个（图5）。前面讲过，蔡氏二级管是个想象出来的元件，实际上不存在。但网上很多人根据蔡先生的设想，用两个运算放大器和几个电阻就能搭出来（图5B）。电路中的一个关键元件就是那个电阻，靠它调节两个非线性元件之间的耦合程度。正如上面说的，耦合程度小了线路就不会产生混沌吸引子（小三的影响被当成空气），而耦合程度太高时则线路失去振荡，被蔡氏二级管稳定在高或者低的电平上。
图5 我搭的蔡氏电路。A为搭在线路板上的实际元件。图中可见两个运算放大器片（一个在铁氧体磁芯上绕的漆包线圈），和几个电阻电容元件。运算放大器用个9v电池供电，就实现蔡氏二级管的功能。B 为电路图，里面标了实际的电阻电容值。有兴趣的网友可以按此图搭一下。运算放大器用什么型号都行，我用了手边已有的LF356。
混沌吸引子
在这儿我要教给您一个新词，叫作“混沌吸引子”。混沌（Chaos）到底是咋回事，目前仍然是上帝的秘密，人类还没搞懂。但因为混沌现象普遍存在，所以也就被大家挂在嘴边。在和别人谈混沌的时候，您若是只知道蝴蝶效应，就会被别人看得很low很油腻，要是您说出“混沌吸引子”来，B格就高多了，不但普通人不懂，真的碰上行家也能唬一下子。
吸引子（attractor）这个概念很容易懂，就是一个运动的物体被规范在一套轨道上这么个事。比如秋千，荡来荡去总在一个看不见的空间轨道上跑。如果秋千被推了一下，可能左右歪歪，但最后还是会回到那条轨道上来。这种即使被推开还会自己回来的特性，有点像被吸引，所以这种状态就叫作吸引子。注意吸引子是一种“状态”而不是实物，比如运动场上的人都愿意沿着跑道跑，这个现象就可以称作“跑道吸引子”。注意跑道这个实物并不是吸引子，吸引子是沿着跑道跑步这个现象。
回到混沌现象，那个蝴蝶状的轨道（图1右），肯定也是个吸引子，但是因为它有两个翼，两套吸引轨道，比较怪，所以也叫“奇异吸引子”（strange attractor）。当然奇异吸引子也有不混沌的，所以用洛伦兹公式画出来的蝴蝶轨道也特别被称作“洛伦兹奇异吸引子”。
用自己搭的蔡氏电路调出各种吸引子，确实是件很酷的事。图6就是当线路中的电阻值不同时形成的不同吸引子。前面讲过，当这个电阻变化时，蔡氏二级管和电容对LC电路有不同程度的影响：当蔡氏二级管和电容对LC电路影响最小时，LC电路出现规则振荡，或寻常吸引子（图6左）；当影响加大时，线路逐渐出现奇异吸引子（图6中）；而当影响达到适中时出现混沌效应，即稳定的洛伦兹吸引子。
图6 蔡氏电路产生的动态特征
有学过物理的同学批评我，说我讲了半天混沌吸引子之类居然一个公式都不列，客气点说是不严格，不客气地说就是民科。但是我相信我李师傅的一句话，说“动不动就列公式的人实际上是不会用‘人话’讲清道理”。虽然公式也是一种人话，但懂的人很少。所以如果能用家常话讲清的科学道理就尽量不要用公式，还要避免虽然能列出公式，道理却讲不清的情况（比如量子力学）。
混沌电路的用途
说了半天混沌吸引子，除了新鲜，又有什么用呢？用处多着呢。比如说最安全的通讯，需要一个字符一个密码，永远不重复使用。但密码从哪来呢？这个需要随机数产生器。在电脑里的随机数产生器其实不是真随机，用多了还是能被发现规律。而混沌电路则是真的随机数产生器[3]。与此类似的用途是机器人寻找死胡同出口的算法，即先乱走，再仔细分析[4]。还有一种比较神奇的用途叫‘混沌同步器’，就是两个结构类似的混沌线路可以耦合起来，这样对使用耦合者的双方，路径精确一致，互相知道在哪里，而对其他观察者，路径则看起来像不可解释的混沌状态[5]。
迄今有很多科学家在研究怎样将蔡氏电路简化，比如用个真的两条腿元件（忆阻器，memristor）来代替多个元件搭出来的蔡氏二级管。简化蔡氏电路的目的是在一个小芯片上搭起上万个混沌电路，也许能模拟大脑神经线路的某些特征。
让我这个神经科学家最感兴趣的还是混沌与产生思维的关系。我们知道每个脑细胞都是一个振荡器，每个脑细胞一般和几千个其他脑细胞联系，这么多耦合在一起的振荡器是否有很多混沌行为呢？答案是肯定的。但是这些复杂的混沌行为和思维产生有关系吗？进一步说，是否思维的产生需要依靠有混沌行为的线路？这些问题激发出一代一代科学家的兴趣，但至今还没有解。脑细胞互相连成的网是迄今知道的宇宙中最复杂的网络。这个网络肯定有很多独特的性质。这方面留给各位去脑补吧，兄弟我再多说半句就会暴露出自己的无知了。
结 语
各位对混沌科学有兴趣的朋友，你们要接受兄弟我的教训，学科学要先学会不说人话（就是会用数学工具）。好多概念需要有数学工具才能懂，比如豪斯佐夫维度（Hausdorff-Besicovitch dimension[6]），本来它是用来描述光滑度的，现在被用来描述混沌分型[6]。利用豪斯佐夫维度，混沌分型多半是非整数维甚至是无理数维的，比如用2.7维可以画出菜花的表面；2.97维，就能画出肺泡……我今天就先把您送到这儿吧。
彩蛋—— 动态系统的一些概念，您都搞明白了就是专家了
Anosov diffeomorphism
Arnold tong
Axiom A system
bifurcation diagram
box-counting dimension
correlation dimension
conservative system
ergodicity false nearest neighbors
Hausdorff-Besicovitch dimension
invariant measure
Lyapunov stability
measure-preserving dynamical systems
mixing Poincaré section
recurrence plot
SRB measure
stable manifold
topological conjugacy
参考文献
[1]《科普一下虎妈他爸》我2012年写的，发在纸媒《物理》杂志上，后来微信自媒体里也转发过，传抄者不少，用文章名搜索吧。
[2] A. S. Elwakil and M. P. Kennedy. (2000) Chua's circuit decomposition: a systematic design approach for chaotic oscillators. Journal of the Franklin Institute 337 (2000) 251:265.
[3] Bonilla, L.L., Alvaro, M. & Carretero, M. Chaos-based true random number generators. J.Math.Industry 7, 1 (2016). https://doi.org/10.1186/s13362-016-0026-4
[4] Ch.K. Volos, I.M. Kyprianidis, I.N. Stouboulos. (2012) A chaotic path planning generator for autonomous mobile robots. Robotics and Autonomous Systems Volume 60. Issue 4 2012.
[5] 5 Kinzel W., Englert A. and Kanter I. (2010) On chaos synchronization and secure communication. Phil. Trans. R. Soc. A.368379–389
[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_dimension