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诺特(Emmy Noether)的传奇一生|首届丘成桐女子中学生数学竞赛将颁发“诺特奖”

首届丘成桐女子中学生数学竞赛即将于本周末举行。赛事于 9 月开启报名后,共收到 931 份有效报名,来自全国 27 个省市自治区和香港地区,以及美国、英国等海外国家。经资格审核,最终 140 余名学生参与竞赛。
因疫情防控原因,开幕式和颁奖典礼都将于线上举办。国内入围选手将分别就近参加 11 个赛场的比赛,包括清华附中、华师二附中、南开中学、巴蜀中学、学军中学、华南师大附中、南师大附中、东北师大附中、湖南师大附中、西安铁一中、香港中文大学;另设海外赛场3个,包括哈佛大学、华盛顿大学以及马里兰大学。其中,清华附中为主赛场。比赛分为笔试和面试两个环节。结果将于 10 月 31 日晚线上公布。
这项赛事是由国际著名数学家丘成桐教授发起并担任总主席,旨在培养女性数学家,鼓励更多女生投入数学学科的学习。首届竞赛由清华大学丘成桐数学科学中心主办,清华大学附属中学承办,清华大学教育基金会、清华大学求真书院支持。
奖项命名为“诺特奖”,以纪念伟大的女性数学家埃米·诺特(Emmy Noether)。诺特在抽象代数和理论物理学上作出了杰出的贡献。她建立了环、域和域上的代数理论,为抽象代数的建立奠定了基础,推动抽象代数成为一门数学的独立分支,被称作 “抽象代数之母”。
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埃米·诺特(1882.03.23 – 1935.04.14)
油画照片来源:蕉岭丘成桐国际会议中心
以下内容为清华大学数学科学系团委宣传中心的同学们,经过查阅资料、汇编翻译后写就而成的人物小传,以通俗亲切的笔法,讲述了 20 世纪的大数学家 Emmy Noether(埃米·诺特)传奇的一生。原载于“数无穹”(订阅号:thudms),《数理人文》(订阅号:math_hmat)经授权转载。
Bourbaki(布尔巴基)最后的恶作剧
1968 年,五月风暴席卷法国,学生们举起红旗与黑旗走上街头。支持学生们的教授中,就有 Bourbaki 学派的创始人之一 C.Chevalley(谢瓦莱)。整个教育界面临着变革,Bourbaki 学派作为一个法国数学家为主的数学家集体,内部也在进行着转变。数理逻辑、概率论等新数学的加入,打破了其致力于用数学结构统一数学的研究传统,50 岁的 Bourbaki 学派日渐式微。此时,数学家 Jacques Roubaud(雅克·鲁博)对其转变提出批评,写下了「讣告」:
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「讣告」原文部分译文:
Cantor,Hilbert,Noether 诸家族,
...
悲哀地奉告,Nicolas Bourbaki 老爷于 1968 年 11 月 11 日在其 Nancargo 的庄园中辞世。
兹定于 1968 年 11 月 23 日星期六 15 时在「随机函数」公墓(Markov 和 Gödel 地铁车站)安葬。仪式在 Koszul 广场,「射影予解式」十字路口,「直积」酒吧间举行。
按已故者的意愿,由红衣主教主教 א(aleph)在「万用问题」圣母教堂主持弥撒,所有闭映射的等价类、纤维的全权代表出席。来自高等师范学校和陈班(类)的学生将默哀追悼死者。
「因为上帝就是 Aleksandrov 的万有紧化」(Grothendick 福音书,第四章第 22 页)。
一位外行人真不知道这个「讣告」说得是什么胡话,不过对当时大名鼎鼎的 Bourbaki 来说,这份充满数学与法语双关的「讣告」,可能是他最后的玩笑。
其第一句提到的数学家中,Cantor(康托)和 Hilbert(希尔伯特)是近代数学的奠基者,Noether 则是 Bourbaki 的引路人。正是 Noether 在 Göttingen(哥廷根)大学的那几年创立的,由环论、理想论建立的抽象代数学,引导了 Bourbaki 的年轻人们革新旧法国的数学,开创近代数学的新篇章。
1. Erlangen(埃尔朗根):数学的不变量与社会的变量
Erlangen,是德国社会变化的缩影之城,是 Klein(克莱茵)提出 Erlangen 纲领、指出几何在于研究不变量之地, Amalie Emmy Noether(阿玛莉·埃米·诺特)正是出生与成长在此。
Noether 的父亲 Max Noether(马克思·诺特)是 Erlangen 大学的数学教授,代数几何学家。在 Noether 的工作中,有一部分正是来源于代数几何。其挚友 Paul Gordan(保罗·戈尔丹),Noether 的博士导师,被称为「不变量之王」。
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Paul Gordan
Noether 热爱数学,但是她知道,德国社会的规则意味着她不会追随父亲的脚步,成为一名大学学者。在 Erlangen 市立女子中学就读的三年中,她对那些女子教育课,诸如宗教、钢琴、舞蹈之类,都不感兴趣,只有语言学科能让她的大脑活跃起来。1900 年 4 月,Noether 考取了法语与英语教师资格,时年仅 18 岁。
但她不愿意就这样度过一生。同年秋天,她决定放弃当教师,转而学习数学。此时的 Erlangen 大学不允许女性入学,只允许女性交费听课,并且几乎没有女性能够争取到主讲教授的同意,参加考试而取得文凭。这使得当时这所几百名学生的大学中,只有两位女生。
1903 年 7 月,她前往纽伦堡市并通过了入学考试,从而可以在德国任何一所大学学习数学。这年冬天,她前往当时世界的学术中心 Göttingen 大学,听到了 Hilbert,Minkowski(闵可夫斯基),Klein 等一流大师的课程。
承载着不变量的 Erlangen 随着社会进步,也在发生着变革。1904 年,Erlangen 大学开始允许女性入学。Noether 喜出望外,立即回到家乡,进入 Erlangen 大学学习,追随 Gordan 攻读数学博士学位至 1907 年。当时,她是 Gordan 唯一的学生。
1908 年,Noether 被任命为 Erlangen 无薪数学讲师。在这段时间里,Noether 的父母尽力地支持她,她的父亲也认识到了女儿出众的才华。然而,她的生活仍然面临着经济困难。
在此期间,Noether 在研究不变量理论,并且开始实现由 Gordan 的公式化到 Hilbert 研究方式的转变。这是她与抽象代数的第一次亲密接触,也确立了她抽象理论的研究背景。
2. Göttingen(上):喧嚣的尘世,可贵的知音,澄净的真理
数学是物理学的一部分。
——Arnold(阿诺德)
物理对物理学家来说太难了。
——Hilbert
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David Hilbert
油画照片来源:蕉岭丘成桐国际会议中心
无论什么原因,数学家对物理怀有强烈的兴趣,是不可否认的事实。从 1913 年起,Noether 就常与 Hilbert 和 Klein 通信,讨论相对论。Hilbert 也十分赏识 Noether 的不变量理论功夫,认为这对他们的研究很有利。1915 年,也就是 Einstein(爱因斯坦)在 Hilbert 的分部积分的帮助下,提出广义相对论的那一年,Hilbert 正式邀请 Noether 前来当时的学术中心 Göttingen,并为她申请授课资格。
科学在走向真理,但世界在走向纷争。1914 年,第一次世界大战爆发。Göttingen 大学的某些教授极力反对让 Noether 担任讲师的提议,他们觉得女人教男人是不合适的,尤其是在战争时期的德国。Hilbert 怒斥道:
「先生们,我不明白为什么候选人的性别是阻止她取得讲师资格的理由。归根结底,这里毕竟是大学,不是澡堂!」
此番言论激怒了对手,Noether 落选了。同年,其母 Ida Amalia Kaufmann(艾达·阿玛莉阿·考夫曼)辞世。
母亲的辞世与讲师职位的落选无疑是对 Noether 巨大的打击,幸而仍有很多支持她的人。作为向反对者的妥协,她同意不被正式任命为讲师,并且不领薪水。她的父亲继续在经济上支持她。她的讲座也被宣传为由 Hilbert 主讲,Noether 助教的讲座。
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Noether 给 Klein 的信(部分)及其译文,1918
对不变量理论的研究,为 Noether 对相对论的研究打下了良好的基础。1918 年,在研究广义相对论时,Noether 提出了著名的 Noether 定理:如果拉格朗日函数在坐标系变化时保持不变,则一定存在一个守恒量。这将守恒律与不变性联系在一起,揭示了对称性与守恒量的一一对应关系。由于其计算之便利、结论之深刻,Noether 定理迅速成为物理学的重要工具。
Einstein 收到 Noether 这篇解决了广义相对论重大问题的论文后十分高兴,说:
「昨天,我从 Noether 女士那里收到了一篇关于不变量的非常有趣的论文。这些规律竟然如此普遍地成立,给我留下了深刻的印象。让 Noether 小姐回到学校对 Göttingen 的保守派们没什么坏处。她知道自己的本事。」
并回禀 Klein:
「在收到 Noether 小姐的新论文后,我再次感到剥夺她的教职是极大的不公正。我想与当局一起采取强有力的措施。如果您认为这不可能,那么我自己去做。」
诺特定理的一种数学表述:
若系统
容许一个单参数微分同胚群
,则相应于
的拉格朗日方程组有一个首次积分
.
的局部坐标
下,首次积分
可写为
1919 年,一战结束了。战争带来的社会变革,使得妇女可以去做那些曾经只有男性从事的工作。37 岁的 Noether 终于获得了 Göttingen 的终身教职。但战败的德国没法给她提供薪水。两年后,她的父亲去世,只留下很小一笔遗产,而她的第一笔薪水,在一年以后才姗姗来迟。
3. Göttingen(下):抽象代数学的诞生
终于,稳定的时局与稳定的薪资使 Noether 能够安心研究。我们仅列举出她在这段时间内的部分成果:
1920-1926,她研究了理想论,建立了 Noether 环理论,证明了理想的准素分解,考察了表示论、模论、理想论之间的联系,并将理想论的成果应用于代数数论与黎曼几何,简洁地得出了更一般的定理。
1927-1929,她进行结合代数的研究,推广了超复数系并将之与 Frobenius(弗洛贝纽斯)的表示论进行联系。
1932-1935,她与 Brauer(布劳尔)、Hasse(哈塞)解决了「代数的主定理」:代数数域上每个中心单代数都是循环代数。还与 Chevalley、Weil(威尔)为类域论给出了代数的表述。
Noether 毕生仅发表论文 40 余篇,但她的影响远不能用这些论文来衡量。
1924 年,21 岁的 Van der Waerden(范德瓦尔登)来到 Noether 身边,很快掌握了她的理论,并加以发展。1930 年,在 Noether 与 E. Artin(阿廷)的讲义基础上,Van der Waerden 出版了《近世代数》一书。这本书一出现,便在数学界引起了轰动。当时 Bourbaki 成员之一 Dieudonne(迪厄多内)恰在柏林,此书发行时,他当天就买了下来,评价道:「看到这个新世界在我面前打开,我简直惊呆了。」虽然当时 Dieudonne 已从高等师范学校毕业,却不知什么是理想,刚刚知道什么是群!
此书从根本上改变了代数学的样貌,故其第四版时,便堂而皇之地去掉了「近世」二字。
1924 年后,苏联拓扑学家 Aleksandrov(亚历山德罗夫)开始与 Noether 通信。Noether 向他指出近代代数学与拓扑学间的密切联系,并着力将同调群引入拓扑学。除 Aleksandrov 之外,Noether 还影响了包括 Hopf(霍普夫),Schmidt(施密特),Stepanov(斯捷潘诺夫),Cebotarev(切包塔略夫)等数学家。
Emmy Noether 对数学的远见卓识的影响,不只限于她特别的活动领域——代数学,同她有数学交往的人,都能受到积极的影响。
——Aleksandrov,《拓扑学 I》序言
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Pavel Alexandrov
一切都欣欣向荣地发展着——除了不安分的时局以外。1931 年 1 月,希特勒上台,一切都改变了。Noether 由于其犹太人的身份被逐出 Göttingen。Aleksandrov 试图在莫斯科为 Noether 安排工作,却因为苏联政府的阻力失败了。1933 年 9 月,Noether 流亡美国,于 Bryn Mawr(布林莫尔)女子学院任教,次年于 Princeton(普林斯顿)任讲师。1935 年 4 月 14 日,Noether 死于手术并发症,享年 53 岁。
人们不能仅从她的个别成果来解读她的成就,她在代数领域开创了一种新的、划时代的思维方式。
——Weyl(外尔)的悼文,1935
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Hermann Weyl
油画照片来源:蕉岭丘成桐国际会议中心4. 薪火相传,美德不灭
Noether 的工作是奠基性的,桃李满天下是必然的。荷兰人 Van der Waerden 用《近世代数》传播了她的工作,日本人 Shoda Kenjiro(正田健次郎)将它在东方传播;法国人 Weil 同 Chevalley 将她先进数学的春风吹进了死气沉沉的法国数学界,推动了 Bourbaki 学派的成立;苏联人 Aleksandrove 在她的指引下走上了将代数与拓扑结合的光明大道……
还有两位年轻数学家,也曾追随 Noether 学习最先进的代数学,也曾做出不凡的贡献,怎奈英年早逝,令人扼腕痛惜。
一位是法国人 J.Herbrand(埃尔布朗),法国最后的数理逻辑专家。如果他活着,他也会是 Bourbaki 的成员。在他短短 23 年的人生中,他在数理逻辑与代数数论上各发表了十余篇论文。1925 年,年仅 17 岁的他就以第一名的好成绩考入高等师范学校,1928 年毕业后只用半年就完成了博士论文。1930 年,他来到柏林,追随冯·诺伊曼证明了证明论的一个重要定理,为机器证明领域打下基础。同时他与 Chevalley 一同研究 Noether 与 Artin 的代数理论,得出了重要结果。1931 年,他在阿尔卑斯山遇难,享年 23 岁。他的工作由 Chevalley 整理出版。
另一位是中国人曾炯之。他一生只有三篇论文,却为函数域上的代数作出了基础性工作。曾炯,字炯之,生于江西南昌市,家境贫寒。在亲友的帮助下,曾炯之得以完成学业,于武昌高等师范学校毕业,是陈建功教授的得意门生。
1928 年,他考取庚子赔款公费留学,1929 年春转入 Göttingen 大学,师从 Noether。1933 年 Noether 被迫移居美国,行前嘱咐曾炯之一定要完成学业。1933 年发表论文《论函数域上可除代数》,在题注中写道:「作者在此谨向导师诺特致以诚挚谢意,在她的鼓励之下,本文作者开始进行这一工作,在本文撰写过程中,她孜孜不倦的教诲和帮助,使得作者最终得以完成本文。」1934 年,曾炯之获博士学位,博士论文的题目为《论函数域上的代数》。1934 年下半年,受资助到汉堡大学进修,Artin 也对他颇多勉励。
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左起:曾炯之,叶理殿,陈省身,姜立夫(1935,德国汉堡)
1935 年 7 月,曾炯之拒绝了 Göttingen 的挽留,于当月回国。经陈建功推荐,他受聘于浙江大学数学系。1936 年,他在《中国数学会学报》首卷上发表了论文《关于拟代数封闭层次论》。1937 年暑假后,他应聘为北洋大学教授。抗日战争爆发后,随校迁至西安,加入了新创立的国立西康技艺专科学校。该校位于西康省西昌市郊区,教学与生活条件十分艰苦。长年的奔波与医疗条件的恶劣,使曾炯之胃疾加重,1940 年因胃穿孔出血而殁,享年 43 岁。
5. 后记
写罢 Emmy Noether 的一生,感慨万千。若她生于当代,又会做出怎样的贡献?个人的命运与时代相连,时代的动荡与落后是学者之悲,时代的和平与进步是学者之幸。我们有幸生于和平进步的时代,学习数学、研究数学的条件比以往任何时候都要好太多太多。我辈又有什么理由不珍惜这来之不易的和平与学习机会呢?■
参考文献:
https://www.famousscientists.org/emmy-noether/
https://math.univ-angers.fr/~darniere/bourbaki.html#n5
《布尔巴基学派的兴衰》
《经典力学的数学方法》
https://celebratio.org/Noether_E/article/111/
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