作者：小小明【江湖人称"明佬"】
大家好，欢迎来到 Crossin的编程教室 ！
前段时间，我在群里面发布了一道题。没想到明佬用心了，很快记下了，马上就用Python解答出来了。
题目如下：
小学题目都这么难，看不起谁呢。今天明佬将尝试通过Python来解题。
首先我们以左下角为原点建立直角坐标系，很快能够知道圆的方程为
两个扇形的方程分别为
和
的一部分。
上面的方程很容易得到，但要计算出方程表达式还需费一番功夫，所以下面我们打算也让Python来计算。
在解题前，我们会先用Python绘制出如下图像。
结果如下：
绘图步骤
1. 画圆
首先计算出上半圆和下半的表达式分别为：
from sympy.abc import x, y
import sympy
c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
display(c1)
display(c2)
结果如下：
如果想要展开表达式可以进行如下操作：
display(sympy.expand(c1))
display(sympy.expand(c2))
结果如下：
直接打印可以看到在Python的表达式：
print(str(c1))
print(str(c2))
5 - sqrt(-x*(x - 10))
sqrt(x*(10 - x)) + 5
因此利用上述文本，我们可以直接进行numpy的函数求值，下面尝试画个圆试一下：
import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.figure(figsize=(5, 5))
x = np.linspace(, 10, 1024)
plt.plot(x, eval(str(c1)), color="r")
plt.plot(x, eval(str(c2)), color="r")
plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.show()
结果如下：
可以看到我们求解的两个表达式可以画出圆形。
下面我们继续来画扇形。
2. 画扇形
两个扇形的方程分别为
和
的一部分。
首先我们计算上面的扇形的函数公式：
sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
结果如下：
[sqrt(x*(20 - x)), -sqrt(-x*(x - 20))]
显然上面的扇形的函数公式是正数，可以直接取角标为0的函数公式：
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s1
结果如下：
用同样的方法我们再求出下面的扇形：
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
s2
结果如下：
然后我们绘制函数图形验证一下：
import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy
%matplotlib inline
c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x = np.linspace(, 10, 1024)
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, eval(str(c1)), color="r")
plt.plot(x, eval(str(c2)), color="r")
plt.plot(x, eval(str(s1)), color="b")
plt.plot(x, eval(str(s2)), color="b")
plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.show()
结果如下：
3. 绘制阴影
首先我们需要求出四个交点。
先分清几个线各是哪条：
import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy
%matplotlib inline
c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x = np.linspace(, 10, 1024)
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, eval(str(c1)), label="c1")
plt.plot(x, eval(str(c2)), label="c2")
plt.plot(x, eval(str(s1)), label="s1")
plt.plot(x, eval(str(s2)), label="s2")
plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.legend()
plt.show()
结果如下：
下面分别交出交点：
from sympy.abc import x, y
x1, = sympy.solve(c1-s1, x)
x2, = sympy.solve(c1-s2, x)
x3, = sympy.solve(c2-s1, x)
x4, = sympy.solve(c2-s2, x)
x1, x2, x3, x4
(15/4 - 5*sqrt(7)/4,
25/4 - 5*sqrt(7)/4,
5*sqrt(7)/4 + 15/4,
5*sqrt(7)/4 + 25/4)
根据对称性，我们可以知道四个交点的坐标分别为(x1,x2), (x2,x1), (x3,x4),(x4,x3)
同样可以画图验证一下：
import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy
%matplotlib inline
c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1, = sympy.solve(c1-s1, x)
x2, = sympy.solve(c1-s2, x)
x3, = sympy.solve(c2-s1, x)
x4, = sympy.solve(c2-s2, x)
x = np.linspace(, 10, 1024)
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, eval(str(c1)), label="c1")
plt.plot(x, eval(str(c2)), label="c2")
plt.plot(x, eval(str(s1)), label="s1")
plt.plot(x, eval(str(s2)), label="s2")
plt.plot([x1, x2, x3, x4], [x2, x1, x4, x3], 'rx')
plt.text(x1, x2+0.1, "p1", ha="center", va="bottom")
plt.text(x2, x1+0.1, "p2", ha="center", va="bottom")
plt.text(x3, x4+0.1, "p3", ha="center", va="bottom")
plt.text(x4, x3+0.1, "p4", ha="center", va="bottom")
plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.legend()
plt.show()
结果如下：
下面开始绘制阴影：
import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy
%matplotlib inline
c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1 = sympy.solve(c1-s1, x)[].evalf()
x2 = sympy.solve(c1-s2, x)[].evalf()
x3 = sympy.solve(c2-s1, x)[].evalf()
x4 = sympy.solve(c2-s2, x)[].evalf()
x = np.linspace(, 10, 1024)
c1, c2, s1, s2 = map(lambda s: eval(str(s)), (c1, c2, s1, s2))
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, c1, label="c1")
plt.plot(x, c2, label="c2")
plt.plot(x, s1, label="s1")
plt.plot(x, s2, label="s2")
plt.fill_between(x[x
plt.fill_between(x[(x1
(x
plt.fill_between(x[(x2
x
plt.fill_between(x[x > x4], c1[x > x4], c2[x > x4], color="grey")
plt.plot([x1, x2, x3, x4], [x2, x1, x4, x3], 'rx')
plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.legend()
plt.show()
结果如下：
然后再稍微调整一下颜色即可得到文章开头的图像。
4. 绘图完整代码
import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy.abc import x, y
import sympy
%matplotlib inline
c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1 = sympy.solve(c1-s1, x)[].evalf()
x2 = sympy.solve(c1-s2, x)[].evalf()
x3 = sympy.solve(c2-s1, x)[].evalf()
x4 = sympy.solve(c2-s2, x)[].evalf()
x = np.linspace(, 10, 1024)
c1, c2, s1, s2 = map(lambda s: eval(str(s)), (c1, c2, s1, s2))
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, c1, label="c1", color="r")
plt.plot(x, c2, label="c2", color="r")
plt.plot(x, s1, label="s1", color="b")
plt.plot(x, s2, label="s2", color="b")
plt.fill_between(x[x
plt.fill_between(x[(x1
(x
plt.fill_between(x[(x2
x
plt.fill_between(x[x > x4], c1[x > x4], c2[x > x4], color="grey")
plt.xlim(-0.2, 10.2)
plt.ylim(-0.2, 10.2)
plt.show()
在完成图像绘制后，我们就可以通过相同的思路求积分得到面积了。
积分求解面积
最终结果完整求解代码：
from sympy.abc import x, y
from sympy import integrate
import sympy
c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1 = sympy.solve(c1-s1, x)[].evalf()
x2 = sympy.solve(c1-s2, x)[].evalf()
x3 = sympy.solve(c2-s1, x)[].evalf()
x4 = sympy.solve(c2-s2, x)[].evalf()
r = integrate(c2-c1, (x, , x1))+integrate(c2-s1, (x, x1, x3)) + \
integrate(s2-c1, (x, x2, x4))+integrate(c2-c1, (x, x4, 10))
r.round(4)
结果：29.2763
如果希望得到更加精确的的结果，可以最后再调用evalf方法：
from sympy.abc import x, y
from sympy import integrate
import sympy
c1, c2 = sympy.solve((x-5)**2+(y-5)**2 - 5**2, y)
s1, _ = sympy.solve((x-10)**2+y**2 - 10**2, y)
s2, _ = sympy.solve(x**2+(y-10)**2 - 10**2, y)
x1 = sympy.solve(c1-s1, x)[]
x2 = sympy.solve(c1-s2, x)[]
x3 = sympy.solve(c2-s1, x)[]
x4 = sympy.solve(c2-s2, x)[]
r = integrate(c2-c1, (x, 0, x1))+integrate(c2-s1, (x, x1, x3)) + \
integrate(s2-c1, (x, x2, x4))+integrate(c2-c1, (x, x4, 10))
r.evalf()