Laplace算子的特征值问题是许多数学领域（几何分析、偏微分方程、变分学、数学物理等）的核心研究方向之一，目前仍然有很多开放问题尚未解决。如下关于Dirichlet特征值的最优划分问题便是其中之一。
问题一（最优划分问题）：令Ω为Rn中的一个有界光滑区域，m≥1为一正整数。将Ω划分成m个不相交的子区域Ω=∪1≤j≤mΩj,使得所有子区域的第一Dirichlet特征值之和最小（对于任意区域D，其上的第一Dirichlet特征值λ1(D)定义为最小的实数λ，使得偏微分方程Δu+λu=0在D内有非零解u，且在∂D上u=0）。
问题一的应用背景十分广泛，包括多种群生存竞争的反应扩散系统（pattern formation）和数据科学中的图的聚类问题等。许多数学家研究过最优划分的存在性和不同子区域之间分界面的正则性，参见[1-4, 6-8]。为了研究高维情况下的自由分界面，Luis A. Caffarelli和林芳华（本文作者之一）[7]证明了问题一和下面的调和映照问题等价。
问题二：令 Σm=。寻找u∈H1(Ω, Σm),使得∫Ω|uj|2dx=1对任意j=1, …, m成立，并且u是泛函∫Ω|▽u|2dx在空间H1(Ω, Σm)中的能量极小映射。
Caffarelli和林证明了对于问题二的能量极小映射u= (u1, u2,…, um)，每个分量的支集(j=1, …, m)构成问题一的一组最优划分，同时u的零点集u-1(0)对应子区域间的分界面；相应地，如果1≤j≤m是问题一的最优划分，取λ1(Ωj)对应的特征函数uj（L2范数为1）并将其以值延拓到全区域Ω后得到的向量函数(u1, u2, …, um)也是问题二的能量极小映射。他们进一步证明了u-1(0)包含两部分：正则部分是C1,α的n-1维曲面，对应于两个相邻子区域的分界面；奇异部分的Hausdorff维数至多为n-2，对应于三个以上的子区域的交界处。O. Alper[1]进一步拓展了对于奇异集的研究，给出了n-2维Hausdorff测度的估计。
当m的值趋于无穷大时，最优划分的子区域可能会趋近形成某种模式。Caffarelli和林提出如下猜想：
猜想：令Ω为R2中面积为1的有界光滑区域，H表示单位面积的正六边形。定义如下归一化能量：
lm(Ω)= (Σ1≤j≤mλ1(Ωj))/m2,1≤j≤m是m最优划分。
a)limm∞lm(Ω)存在，且和Ω本身的形状无关；
b)limm∞lm(Ω) = λ1(H)。
我们在《中国科学：数学》的文章[5]中证明了猜想a对于任意维数均成立。我们首先证明了当Ω为立方体时这一极限存在，然后对于任意的区域Ω我们可以用同样体积的小立方体来逼近这个区域，并证明对于任意区域这一极限和单位体积立方体相同。上极限的证明可以由简单的构造和极小性得到，而下极限的部分我们转而考虑问题二中的等价形式，通过估计极小调和映照乘上截断函数后的能量来得到想要的下界。
我们的结果证明了Caffarelli-Lin猜想的第一部分，也为最优划分的子区域在m足够大时确实存在某种渐近模式提供了依据。猜想的第二部分意味着在二维情形，最优划分会趋近正六边形的密铺模式。这一猜想也被称为第一Dirichlet特征值的“蜂窝猜想”，目前尚未被证明。事实上，下面这个更基本的问题至今仍然是开放问题：在所有的单位面积六边形中，正六边形是否使第一Dirichlet特征值取到极小。这也启示我们关于Laplace算子的特征值还有许多基础却困难的问题需要数学家们努力求索。
【参考文献】
[1] Onur Alper. On the singular set of free interface in an optimal partition problem. Comm Pure Appl Math, 73 (2020), 855–915.
[2] Dorin Bucur, Giuseppe Buttazzo, and Antoine Henrot. Existence results for some optimal partition problems. Adv Math Sci Appl, 8 (1998), no. 2, 571–579.
[3] Monica Conti, Susanna Terracini, and Gianmaria Verzini. On a class of optimal partition problems related to the Fučík spectrum and to the monotonicity formulae. Calc Var Partial Differential Equations, 22 (2005), no. 1, 45–72.
[4] Monica Conti, Susanna Terracini, and Gianmaria Verzini. A variational problem for the spatial segregation of reaction-diffusion systems. Indiana Univ Math J, 54 (2005), no. 3, 779–815.
[5]Zhiyuan Geng and Fanghua Lin. Large m asymptotics for minimal partitions of the Dirichlet eigenvalue. Sci China Math, 65 (2022), 1–8.
[6] Bernard Helffer, Thomas Hoffmann-Ostenhof, and Susanna Terracini. Nodal domains and spectral minimal partitions. Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire, 26 (2009), no. 1, 101–138.
[7] Luis A. Caffarelli and Fanghua Lin. An optimal partition problem for eigenvalues. J Sci Comput, 31 (2007), no. 1-2, 5–18.
[8] Dario Mazzoleni and Aldo Pratelli. Existence of minimizers for spectral problems. J Math Pures Appl, 100 (2013), no. 3, 433–453.
作者简介：
林芳华
美国华人数学家，美国纽约大学科朗数学研究所西佛教授（Silver Professor of Courant Institute of Mathematical Sciences）。在几何测度论、偏微分方程和几何分析等数学领域有突出的贡献。在Ginzburg-Landau方程、液晶方程、均匀化理论、调和映照等方向取得了显著成就。2002年获得美国数学会博谢纪念奖（Bôcher Memorial Prize），2004年当选美国艺术与科学院院士。
耿志远
2020年在美国纽约大学科朗数学研究所获得博士学位，目前为巴斯克应用数学中心（Basque Center for Applied Mathematics）博士后。主要方向为液晶模型的理论研究。