对于生活在现代社会的我们,0是一个数已经是常识了。但实际上,0作为数被发现这件事是发生在6世纪前后的印度。在那之前,虽然存在与0相当的“记号”,但是大家并没有把它看成可以用来作为计算对象的数。
0最初是作为“进位计数法的符号”开始被使用的。例如“2543”表示的是2个1000(1000的数位上为2)、5个100(100的数位上为5)、4个10(10的数位上为4)、3个1(1的数位上为3)合起来的数。在这种计数方法(进位计数法)下,有时就需要一个记号来表示某数位为“空”的情况。例如“2503”就意味着10的数位是空的,像这样的0被称为“空位记号”。
而当用汉字来表示数的时候则不需要0,也就是不需要空位记号了。例如2503用汉字书写的话就是“二千五百三”,所以没有与0相当的记号(编者注:古汉语是如此表达的,现在有的地方口语中也如此表达。不过,现代汉语要写为“二千五百零三”)。
M代表1000,D代表500,III代表3
左侧用植物睡莲表示1000(有两个,所以是2000),中间用绳子表示100(有5个,所以是500),右侧用3根棍子表示3。
进位计数法用笔算时就会涉及包含0的计算了。例如,计算“2543+2503”时,在十位上就有必要去计算“4+0”。一般认为,在6世纪前后的印度才开始像这样把0作为计算的对象,也就是才开始把0看成数。
关于0的计算,尤其是在西方,在很长时间内都存在各种混乱。例如,活跃于17世纪的法国物理学家和数学家布莱兹·帕斯卡(Blaise Pascal,1623~1662)就认为“0-4=0”。他认为,因为0表示什么都没有的“无”,从无那里什么都抽不出来,所以当从0那里想要抽出什么时,结果应该还是0。
在关于0的计算中,最令数学家困惑的是“把0作为除数”。历史上曾出现过“1÷0=0”“0÷0=0”这样在今天一看就是错误的计算。
我们在学校学过“把0作为除数”是无法进行的计算。为什么无法进行呢?实际上,禁止8÷0等这样把0作为除数非0的数的理由和禁止0÷0的理由却不同。为了思考这个问题,我们首先需要来看看除法到底是什么。
实际上,对于除法有好几种思考方式。把8÷4想成像“4个人去平分8个苹果,每个人能得到几个苹果”这样的思考方式被称为“等分除法”。如果用这种思考方式,8÷0就意味着“0个人去平分8个苹果,每个人能得到几个苹果”,而这个问题是没有答案的。
我们还能把除法作为乘法的逆运算来考虑。例如,8÷4就可以考虑成是去求“满足‘a×4=8’这个式子的a是多少”这个问题。如果用这种思考方式,8÷0就意味着是去求“满足‘a×0=8’这个式子的a是多少”这个问题。
由于任何数乘以0结果都为0,所以不存在满足上式的a。也就是说,8÷0不存在答案。
那么,0÷0又如何呢?如果把除法考虑成乘法的逆运算,这个问题就变成了去求“满足‘a×0=0’这个式子的a是多少”这个问题了。我们一看,“任何一个a”都能满足这个式子。无论是a=1还是a=125,都能满足上面的式子。所以说0÷0并非不存在答案,而是无法确定0÷0的答案。