北大请你一起分披萨！

北京大学

2023-03-14 08:40发布于北京北京大学官方账号

2019年11月26日

联合国教科文组织正式宣布

每年的3月14日为“国际数学日”

“3.14”是最接近圆周率的两位小数

故3月14日又名为“π Day”

π的发音Pi

与英文中的饼（Pie）一致

而让吃货狂喜的披萨（Pizza）

又是饼系美食中让人十分钟爱的一类

北大数学的师生

向大家抛出了一个有趣的问题——

“如何用数学原理分披萨？”‍

快跟小北来一起看看

关于这个问题

都有哪些有趣的回答和讨论吧‍

文末还有惊喜互动奖品哦！

问题一：“8人均分披萨”

一个10寸圆形披萨

端上来时已被过圆心切分为6份

如果家里有6个人

每人一块，则刚好平分

但如果现在家里有8个人

该如何平分呢？

如果披萨可以乖乖变回它刚出炉的样子，我们就可以按照八均分整圆的弧度，将披萨重新切分成顶角为45°的八等份，这样，每位家人都可以享用到同样大小的披萨了。

但当披萨已经被切分好时，我们要如何满足八个人的需求呢？针对这个问题，北大数学的同学提出：

解决方案

一个圆形的披萨有360°，把它分成360份，则每一份的顶角都为1°。

在现有6份披萨（每份顶角60°）的基础上，将每份再等分为4小份（每份顶角15°），就会得到24小份披萨。24是6和8的最小公倍数，所以只要让每个人都吃掉3小份顶角为15°的披萨，大家就都可以品尝到同样大小的美味了！

问题二：“不经圆心分披萨”

日常生活中

人们都是用经过圆心、切几刀的方法

来等分披萨

但如果两人想分享一张披萨

第一刀却没有切在圆心上

披萨还能被完美平分吗？

1967年，数学家厄普顿（L.J.Upton），坐在餐厅享受美食的时候总喜欢想些稀奇古怪的点子，于是在《数学杂志》（Mathematics Magazine）上，由他提出的这样一个问题就诞生了（参考文献：L. J. Upton, Problem 660,Math. Mag. 40 (1967) 163.）。

问题提出后，世界各地的数学家们对它的研究立刻进展得如火如荼。但就是这么一个看似简单的分披萨的问题，却使数学学界花了40余年的时间进行研究。

解决方案一：切偶数刀

首先，1968年，数学家迈克尔·哥德堡成为了第一个解答问题的人。但是他的解答仅限于切了4刀、6刀、8刀这样的偶数刀情况。他的推导与证明过程极其复杂，普通人恐怕花上三天三夜也无法完全理解。

26年之后，1994年，数学家拉里·卡特和斯丹·瓦根在吃了无数个披萨、裁了无数个圆后，就对切4刀的方法，用割补法给出了一个浅显易懂的直观图解证明——

经过打乱重组，可以发现在每一刀与另外一刀的夹角是45度的情况下，无论这4刀是否经过圆心，披萨总会被等分成两份。如下图所示，在上述切法的实践下，紫色部分的总和总是与黄色部分的总和相等：

当切的刀数变成奇数时，所分出的披萨面积是否相等，暂时还没人能给出答案。1994年，数学家迪尔曼在《数学杂志》上再次提出这个难题，并邀请广大数学家们来解决：如果切奇数刀会怎么样？

另一种情况：切奇数刀

经过15年的漫长研究，2009年，数学家保罗·迪尔曼和里克·马布里才终于成功证明了：在切奇数刀的情况下，披萨两部分面积将不再相等。即，如果当刀数N为奇数且任意一刀都不经过圆心时，披萨两部分的面积必定不相等。至此，披萨问题终于得以解决。

（注：过圆心切一刀是可以将披萨等分的，所以结论是基于当刀数N为奇数、且任意一刀都不经过圆心而得出的。）

问题三：“谁能吃到更多？”

如果以披萨上任意一个点为中心切下N刀

相邻两刀夹角相同

两个人按照顺时针（或逆时针）的顺序

一人一块来吃的话

谁会吃得更多呢？

受问题二的启发，我们可以进一步证明，如果披萨被切的是偶数刀的话，那么两人所吃的份量相同；但如果切的是奇数刀是什么情况呢？首先，如果是切一刀，那么吃到披萨中心的人会吃到更多；其次，不难由对称性证明，如果有一刀经过圆心，那么两个人分到的披萨是等量的。而至少切了三刀，且任意一刀都不经过圆心时，情况就变得更复杂。

数学家保罗·迪尔曼和里克·马布里算出，切三刀时，吃到披萨中心（过披萨圆心）的人会吃到更多；切五刀时，吃到披萨中心的那个人则会分得更少。继续计算下去，当切到七刀的时候，结果又反了过来……切刀数每到下一个奇数，结果好像就颠倒一次。如下图所示：

解决方案：披萨定理

披萨猜想的证明由此完成，它也正式变成了披萨定理：

如果以披萨上任意一个指定点为中心，切下N刀，使相邻两刀夹角相同，然后按顺时针（或逆时针）的顺序给切出的各块交替染上两种颜色，那么便有了如下结论：

当N是大于2的偶数（N=4，6，8，10，......），或有任一刀通过圆心时：两种颜色的部分面积一样大，即两人按顺序将吃到等量的披萨；

若任意一刀都不通过圆心，那么：当N=1，2或N除以4余3（n=1，2，3，7，11，15，......）时，包含圆心的部分面积比较大；当N大于4且除以4余1（N=5，9，13，......）时，包含圆心的部分面积比较小。即，切3，7，11，15 刀（4N-1刀）时，吃到披萨中心的人会分得更多；切 5，9，13，17 刀（4N+1刀）时，吃到中心的人分得更少。

其实，关于分披萨的问题还不止于此，还有许多延伸知识可以讨论与发掘：比如若是切一块方形披萨有哪些方法？若是三个人分一块披萨又有哪些切法？……生活之中，处处是数学的奥妙！‍‍‍‍‍‍‍‍

北大数学“学术pizza沙龙”——‍

老师与学生的双向奔赴

假如有这样一种面向本科生的学术活动：同学们不仅可以在众多披萨口味中任意挑选，还能随意进出不同方向教授的教室，一番逡巡后选择自己最中意的留下来听，是不是很美妙？

北大数学在今年春天就开启了这种全新的师生交流模式：午餐时间，在同一个活动空间并行举办多个方向的“小讲座”，每个小讲座由该领域内一位卓有成就的老师担纲。田刚院士被邀请参加3月2日面向大二学生的首次活动，当他来到活动现场才发现，原来他需要跟肖梁、郭帅等一众年轻老师同台“打擂”，学生喜不喜欢听，全凭老师现场展现的实力！

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