赵亚平
男，1975年12月生，东北大学机械工程与自动化学院教授、博士生导师，教育部新世纪优秀人才。
《曲线与曲面的工程微分几何学》（赵亚平 著. 北京：科学出版社，2023.04）的内容虽然寓于古典微分几何，但是很多属于作者的研究心得，是首次见诸文献的报道，对传统内容的处理也采用了一些比较别致的方法，因而全书不免带有尝试的性质，诚恳希望读者不吝指正。
微分几何与微积分相伴而生，其历史已经超过了300年，现今已经发展到高维、大范围的现代微分几何，是整个现代数学较为活跃的分支之一，其经典内容是三维Euclid空间（欧几里得空间）中光滑曲线与曲面的一般理论。由于研究对象是客观世界中的几何图形，经典微分几何是处理工程中复杂几何问题的必备知识，在许多工程领域，譬如图形变换、图像处理与识别、三维几何实体造型、复杂曲面数控加工、复杂金属切削刀具的设计，特别是机械传动的啮合理论中，都有非常广泛而且很有深度的应用。
但令人遗憾的是，据作者所知，介绍曲线与曲面一般几何性质的专著，可谓寥若晨星。阐述这方面内容的书籍，大都是数学专业的本科教材，因而对三维Euclid 空间中曲线与曲面几何理论的叙述，很难做到深入详细。同时，因为是数学人写数学书，对工程意义较大的内容，往往论述得很不到位，推导的过程又常常跳跃性大了些，给工程技术人员的领会造成了许多障碍。
就主要内容而言，本书属于经典微分几何的范畴，显著特色之处在于：
1. 对一些较为基础的理论问题，进行了论证与澄清。譬如，利用行列式的性质完整证明了二重矢积公式。该公式是进行矢量运算的重要依据，但在微分几何及其他书籍中很难找到完整简洁的证明。本书提出的证明方法思路清晰、过程简明、易于理解。又如，利用线性代数理论建立了坐标变换前后矢量矢积和点积的联系，并进行了证明，为研究图形的运动不变量奠定了理论基础；论证了旋转变换矩阵元素与相应代数余子式之间的关系。在既有文献中，对这些联系和关系，一般只取承认的态度，而不加以论证。再如，证明了旋转面和螺旋面的一些性质。这些性质在一些齿轮啮合理论的专著中虽有所提及和运用，但未做严格证明，本书的论证有助于读者对它们的深入理解。
2. 利用模与矢量点积的关系，直接推导了曲线三个基本矢的计算公式，并由此得到曲线曲率和挠率的计算公式。对这些经典内容，本书采用了较为新颖的处理方式，以求概念明确、思路清楚、过程直接。
3. 全面深入地解释了曲线Frenet-Serret公式和曲面曲线标架运动公式的运动学意义。这部分内容带有微分几何与刚体运动学学科交叉的意味，在常见的经典微分几何教科书中多未触及。
4. 把曲面的主曲率和主方向问题归结为对称阵的广义特征值问题，再通过Cholesky分解转化为实对称阵的特征值问题，使其特性一目了然。本书对这一曲面论重要问题的处理，没有沿用当前微分几何教材中广泛采用的Weingarten映射法，降低了难度与抽象性。
5. 对曲面论的基本方程和二维曲面的Riemann曲率张量做了详细阐释，推导了多种不同形式的Gauss方程。这是经典微分几何中比较艰深的内容，也是向现代微分几何过渡的桥头堡，在深入研究曲面几何性质的过程中，有它们独特的应用。本书的这种处理方式有利于非数学专业的工程技术人员对这些内容的理解与掌握。
6. 基于Christoffel符号，建立了法曲率对弧长参数导数的简洁公式，并应用于渐开螺旋面，为在高阶微邻域内研究曲面间法向距离奠定了基础。在齿轮啮合理论的著述中，曾经给出过相应公式，不过没有采用Christoffel符号，因此形式比较复杂，也没有提及如何应用。
7. 以例题的形式，对工程上常见曲线和曲面的几何性质进行了深入的定量研究，澄清了许多基本概念，获得了一些基础性的数学结果，涉及的曲线与曲面包括：渐开线、泛渐开线、摆线，以及渐开螺旋面、法向直廓螺旋面和Archimedes螺旋面等。例如，提出了法向直廓螺旋面的新型几何设计方法，摆脱了对齿厚的依赖，使得这种螺旋面可以作为几何对象独立存在，而不是仅仅充当圆柱蜗杆的螺旋面。又如，通过分析沿螺旋面法向截线的单位法矢量是否为平面矢量，弄清了工程上所谓的螺旋面法截面一般只能通过螺旋面在某特殊部位的法线，譬如只通过法向截线与分度圆柱交点处的螺旋面法线，澄清了通常所谓螺旋面“法平面”的名义性质。再如，按Gauss曲率为0建立微分方程，经过积分求解，严格证明了可展的常螺旋参数螺旋面是且仅是渐开螺旋面。机械工程领域中，螺旋面的应用非常广泛，如刀具的容屑槽表面、蜗杆和斜齿轮的齿面，以及螺纹的表面等。不过，在微分几何的各种著作中，螺旋面并未受到应有的重视，因而相关的专门理论相当缺乏。
8. 通过求解Bernoulli方程，导出了一种初等极小螺旋面的方程，正螺面是这种极小螺旋面的特款，从而为初等极小曲面的家族增添了新成员。
9. 基于Legendre椭圆积分，求得了一些满足一定曲率条件的非初等曲面方程，如常Gauss曲率的螺旋面、伪球率曲面、Delaunay曲面和常平均曲率的螺旋面等，可以认为所得方程乃是这些曲面的一般方程。在此基础上，说明了特殊条件下椭圆积分可以由初等函数以有限形式表达时，这些曲面可以退化为初等曲面，如伪球面与作为Delaunay曲面的柱面和球面等。
10. 基于自然标架，利用曲面论的Gauss公式，严格推导了三阶近似曲面方程，囊括了一般参数形式、正交参数形式及曲率线参数形式。在推导过程中，去掉了不必要的假设，澄清了许多模糊认识，为研究机械传动装置的高阶接触和齿面精密修形打下了坚实的理论基础。在一般微分几何论著中，大都只讨论到曲面的二阶局部近似曲面，在一些情况下不足以满足工程应用的需要，不少相关推导也不够严格。
11. 比较深入系统地论述了曲面族包络理论，不仅涉及单参数的情形，而且涵盖了双参数的情形，还证明了对二维曲面而言，更多参数的包络其实不存在；不但叙述了包络面方程的确定方法，而且给出了包络面上奇点轨迹的计算公式，还证实了不同形式奇点条件的一致性，并且对单参数平面族包络面的几何特性进行了颇为详尽的研究，主要包括曲率特性和奇点轨迹的性质等。对于双参数的包络，分析了包络面上参数曲线网的可能存在模式，在建立了计算矢量的概念并阐明其性质的基础上，严格证明了偏曲率干涉界线函数间的恒等关系。微分几何书籍中，对包络理论一般不加详明阐释，对于双参数包络理论甚至不会提及，但由于这是研究双自由度啮合的理论基础，在一些齿轮啮合理论的书籍中有所讨论，不过因为缺乏严格坚实的数学支撑，致使讹谬滋生，难堪应用。系统地构建与诠释包络理论，对于创建并形成性能优越的新型传动机构、开拓新型曲面精密切削加工方法，都将是大有裨益的。
本书的撰写得到了东北大学机械工程与自动化学院和机械可靠性与动力学研究中心的领导与同事的支持与帮助，他们营造的较为宽松的学术环境，正是本书孕育和诞生的沃土。对此，作者致以最诚挚的谢意！
赵亚平 谨识
于东北大学滨湖苑
本文摘编于《曲线与曲面的工程微分几何学》（赵亚平 著. 北京：科学出版社，2023.04）一书“前言”，有删减修改，标题为编者所加。
ISBN 978-7-03-073990-2
本书是一本关于三维Euclid空间中光滑曲线与曲面一般几何理论的基础性专门学术著作。全书共9章，可划分为四个部分。第1章为第一部分，主要讲授三维矢量的代数与分析，是全书的理论基础。第2、3章为第二部分，属于三维Euclid空间的曲线论。第4～8章为第三部分，属于三维Euclid空间的曲面论。第9章为第四部分，深入详细地研究了包络现象。相对于既有文献，本书补充了新内容，对传统内容也往往采用新方法加以处理，对于同一问题有的还给出了不同的解法或证明，以例题的形式对工程中常见曲线、曲面的几何性质做了比较深入的定量研究讨论，还能够把其他数学分支的理论与方法自然地应用于经典微分几何的研究。本书思路清晰，推导过程详尽，论述深入浅出、直接明快，既不失作为数学著作的严谨与严格，又注意联系工程实际。
（本文编辑：刘四旦）
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