矩阵半张量积
小 事 记
关于矩阵半张量积的往事，一开始想写个“大事记”，转念一想，矩阵半张量积是我等一群小人物折腾起来的，往事也不过是一些蕞尔琐事，上不得大台面，如何担得起“大事记”这三个字，逐将题目定为“小事记”。事虽小，却也刻骨铭心，不思量、自难忘。
Part01
从多线性映射说起
1997年的一个周末，我骑车上五道口，在商场附近偶遇清华大学的卢强院士。1983年我在华盛顿大学读博的时候，卢老师到我们系做访问学者，我们曾一起听过罗马大学Isidori教授的非线性系统几何控制理论课。当年我因先修了“拓扑学”、“微分流形”等课程，卢老师常向我求教一些数学基础概念。此时卢老师虽已是名满国内外的院士，但仍然虚怀若谷如当年。他拦下我就问我关于零动态系统的一个问题。岂知势易时移，对于新出现的零动态系统理论，我居然闻所未闻。于是“师生”之势易位，由他向我讲解什么是零动态系统。在卢老师启发下，此后我开始关注中心流形理论。
熟知，对于一个非线性动态系统，其线性部分的稳定或不稳定决定了非线性系统的局部稳定或不稳定，这由其雅可比矩阵的特征值为全负实部或有正实部决定。零动态系统理论讨论当特征值部分为零实部时的局部稳定性，而这必须由非线性项(或者准确地说：多线性项)来决定。这让我强烈地感觉到，要解决非线性系统的设计问题，多线性映射的矩阵表示是关键。这其实是我们后来研究“矩阵半张量积”的最初冲动，慢慢地在我头脑里形成了这种矩阵表示及其运算的一些初步设想。我的一些朦胧的想法在和卢老师的联合讨论班上提了出来，我认为这种表示和运算可以直接用来计算非线性系统控制的微分几何方法中所需要的一些几何结构，如向量场的各种李导数与张量场的数值计算。几次讨论之后，得到卢老师的认可和大力支持。于是，由卢老师和我共同负责，在1999年申请了一个国家自然科学重点项目——《电力系统安全稳定运行中的代数化几何方法》。所谓代数化几何方法就是要用矩阵半张量积的方法进行微分几何控制理论中的几何结构的运算，从而使之便于用计算机实现。随后，在卢老师主持的电力系统国家973项目中，我参加并担任了专家组成员和一个子课题的负责人，继续研究矩阵半张量积方法在电力系统中的应用。在这个过程中，矩阵半张量积的理论和方法逐步发展和完善起来了。
为了扶持矩阵半张量积的发展，这时已经成为卢老师团队主力的梅生伟不仅身体力行，并且在组织和协调合作研究方面起了很大作用。卢老师还将他的博士生马进直接派到系统所由我带。随后，他的博士刘锋跟我做了博士后。马进、刘锋都为矩阵半张量积的发展和它在电力系统中的应用做出了很有价值的贡献。2010年，梅生伟、刘锋、薛安成出版了一本专著《电力系统暂态分析中的半张量积方法》，系统介绍了矩阵半张量积在电力系统中的应用。中国科学院程时杰院士在为该书写的序中指出：“中国科学院程代展教授创立了半张量积新理论，同时在一般系统稳定性理论方面取得突破性进展，梅生伟及该书另外两位青年作者在此基础上，成功地将半张量积理论应用于电力系统暂态稳定分析，开辟了电力系统暂态稳定分析的一条新途径。程代展教授与卢强院士、梅生伟教授多年来一直在电力系统非线性控制领域精诚合作，该书主要内容是使他们在20世纪90年代创立非线性电力系统几何结构理论之后取得的又一个里程碑式的工作成果。”总之，矩阵半张量积研究的初衷是为了解决多线性映射的表示和计算的，而那次五道口的偶遇和马路边的讨论或许是其源头。
Part02
从香港之行到难产的
第一篇论文
1998年5月的一天，接到清华老同学薛伟民的一个电话。他当时在香港浸会大学数学系工作，来电告诉我他们系有一位教授sabbatical leave，问我是否有兴趣访港。我当时科研工作茫无头绪，正在寻觅出路之际，能出去换换脑筋自然求之不得，于是98年秋季就到香港浸会大学访问半年。当时薛夫人及儿子尚在北京，他在香港租住一个两卧一厅的单元，我去了后就跟他同住。在浸会大学除了讲授一门泛函分析课外，并无其他硬性的任务。薛伟民其实是我原清华数学教研组同事，他跟我同时进的教研组，是培训班的同学。78年我们同时考上中科院研究生院。在香港时我曾同他探讨过矩阵半张量积的一些初步构想。
期间，清华大学应用数学系的系主任蔡大用教授来访一个月，于是关于矩阵半张量积的一些模糊的想法就成了我们共同的话题。蔡教授很认真，常常是晚上把我们请到他办公室去讨论。有一天晚上，伟民和我在学校食堂吃过晚饭，刚回到公寓，却收到蔡教授的电话。他在电话中说，已经知道矩阵的行排式与列排式的转换算法。在电话里讨论了半天，还是讲不清楚。他一急，就要我们回他办公室讨论。于是我们重新坐地铁回到学校。伟民善于编程，他将算法用C语言编出，用随机矩阵检验其正确性。蔡教授的算法几经修正之后似乎已经可以工作了。我忽然感到这似乎可以直接用矩阵表示。在他们俩人一致同意后，我们开始探讨这个矩阵的结构。我们一边在黑板上写写画画，一边由伟民修改程序，最后终于把我们称之为“换位矩阵”的结构讨论清楚了。兴奋之余才发现，已经是凌晨两点，早已错过了城铁的末班车。那后半夜，我们只好各回办公室，胡乱趴在桌子上睡了片刻。
我将矩阵半张量积的定义和一些初步性质，包括我们最得意的换位矩阵，整理后投了一个线性代数的期刊，记得是《Linear and Multi-linear Algebra》吧，论文很快就被拒了，最主要的理由是：为什么我们需要矩形半张量积？另一个技术性的原因是：“换位矩阵”，也称commutation matrix，是一个几年前就己知的概念。此后，关于矩阵半张量积的论文屡投不中，一直到2001年的第一篇关于矩阵半张量积及其在Morgen问题中的应用，发表在《中国科学》上。
大半生的科研经历，有一点感悟：大凡你认为有意义的“发现”，十之八九都是前人已知的。“换位矩阵”即为一例。
Part03
逻辑的矩阵半张量积表示
2006年我首次到瑞典访问，初冬的斯德哥尔摩真是够受的。早晨10点天才开始蒙蒙亮，到了下午3点，街道就全靠路灯照明了。雪，夹杂着雨点，夜以继日地下个不停。铲雪车和撒盐，都赶不上积雪的速度，到处是泥泞。那是一个周日的早晨，我懒懒地起了床，吃了两片面包和一杯牛奶，我呆呆地望着窗外，外面仿佛是一个无人仙境，未被踩踏的白雪覆盖着大道，房屋和树木，只有晨曦中的飞雪，给这个银白的世界些许生气。
百无聊赖之际，忽然想起昨天在旧书店花50克郎买的一本数学手册，赶紧找出来把玩。鲁迅先生所言不差：“无聊才读书”。书的第一章是离散数学，第一节是逻辑。我虽未学过逻辑，但当年在美国教过本科生的Contemporary Mathematics(当代数学)，接触过一点。为了复习一下自己那半吊子的逻辑知识，我拿出纸笔，试图证明它的几个简单公式。几个等式算过，头脑里忽然闪过一个念头：这不是可以用半张量积算吗?
我把向量[1，0]对应“真”，[0，1]对应“假”，于是，每个逻辑表达式都可以用一个矩阵半张量积来表示了。强压着兴奋的心情，我又用此证了几个逻辑等式，终于相信这是对的了。我把那本数学手册放在嘴边亲吻了一口，就跑去开冰箱找啤酒了。如果预知以后事情的发展，我想，花5000克郎买那本手册也值。在《矩阵的半张量积–理论与应用》（程代展、齐洪胜）书中有一章，是关于逻辑的半张量表示。这个工作的初衷是一种纯数学的兴趣，是那本手册和斯德哥尔摩冰雪的功劳。我当时曾试图将其应用于模糊控制，但不过是写了两篇文章，并不是很成功，其实当时对模糊控制很不了解。
Part04
逻辑动态系统
常常听到这样一句话，“机会总是留给有准备的人”。相信我，这句话是真理。我很幸运，遇上了这样的机会。2008年初，新年刚过，我在香港第三次中瑞双边控制会议上听到清华大学赵千川教授关于布尔网络的报告。他说到，就是两阶的布尔网络动态系统要想给出不动点和极限圈的一般公式表示也很困难，布尔网络动态系统是一个逻辑动态过程，对于逻辑过程，人们掌握的工具很少。我的脑子忽然像过了电一样：如果用半张量积把它表示成矩阵形式，那不就可以用代数的方法来解决它了吗?
那天晚上，我把赵千川教授请到我的住处，我说：我不懂布尔网络，你现在是我老师，我把我听你报告的理解跟你讲，你帮我把关，看讲得对不对。我们讨论到很晚，我真弄懂了。他临走，我对他说：我或许能找到N维网络的一般公式。赵千川教授年轻有为，他是我学习布尔网络的第一位老师。
从这次会议回来之后，我苦苦思索一个问题：一个逻辑动态方程可以转化为矩阵形式，那N个方程怎么合到一起呢？最后，终于想出了一个方法：把它们用矩阵半张量积“乘”起来。这样，一个逻辑动态方程就变成了一个差分方程，传统的矩阵分析方法就可以用上去了。这个发现，为布尔网络的研究找到了一个便利的工具。
2008年春节，我从大年三十一直干到春节过完，大门都没出。我一口气写了三篇长文：“Analysis and control of Boolean networks：Part 1.Topological structure of Boolean networks; Part 2. Input-state structure of Boolean networks；Part 3. Control lability and observability of Boolean control networks。这三篇文章投到IEEE TAC，很快就被拒了。但主编Cassandras明显表示，这里可能有非常有价值的东西。他甚至同意我们改成Part 1-Part 2再投。TAC发长文是很难的事，为争取尽早让我们的成果面世，我后来将Part1投IEEE TAC，Part 2投IEEE TNN，Part 3投Automatica。它们先后均以长文(Regular Paper)形式发表了。TAC的最慢，晚了一年。这说明分开投的决策对了。
此后，布尔网络控制的半张量积方法在状态空间描述，各种子空间的定义与计算、布尔控制系统的状态转移阵、优化控制等取得一系列突破，逐渐形成了一套较完整的逻辑动态系统控制的理论体系。我们在Springer发表了470页的专著《Analysis and Control of Boolean Networks》，可以自豪地说，该书中所有结果都是我们自己的。
Part05
从逻辑动态系统
到博弈论
把矩阵半张量积方法从逻辑动态系统推广到博弈论是受到郭雷团队的启发。当时穆义芬在室里报告了演化囚徒博弈的动力学与优化算法，给我的启发很大。囚徒困境是两策略的，其演化与逻辑动态系统有很强的共性。我后来把穆义芬请到我们小讨论班，她仔细给我们讲解了博弈的动态演化与策略优化，这给我们矩阵半张量积在博弈中的应用研究开了个头。
逻辑动态系统是用二值的布尔函数来描述的，因为逻辑只有“真”和“假”两种值。但布尔函数的矩阵半张量积表示方法显然很容易推广到一般有限值的情况。有限博弈就是自变量(策略)可取有限值的情况，例如，石头-剪刀-布就可以看作三值逻辑的问题。因此，以逻辑动态系统的结果推广到演化的有限博弈中去就成了很自然的事情。
但是，直觉不等于科学成果。我们真正的突破是将演化博弈的演化方程写出来。它为研究演化博弈的性质，设计演化博弈的控制方法等提供了一个方便的工作平台。博弈论是比控制论大得多的领域。有一本书《博弈论》，它的封皮上写着：“有两类人可以不学博弈论：一是漂流到类似于鲁宾逊所在的荒岛上；二是到了什么事完全由自己说了算，不受任何其他人影响的地步”。研究博弈论而获得诺贝尔经济学奖的数学家不下200人。矩阵半张量积方法在博弈论方面的应用为矩阵半张量积理论的发展打开了一扇通向成功的大门。
一个代表性的成果是势博弈的检验。这方面的相关研究不少，但多半是给出各种算法，例如2011年的一篇文章《An improved algorithm for detecting potential games》，它对此前的研究结果进行了概括，并将它们与该文提出的算法进行了计算复杂性的比较，并提到：“检验一个给定博弈是否为势博弈不是件易事”，我们在《On finite potential games》中给了一个易于检验的充要条件，它是矩阵半张量积有效性的一个明证。
Part06
一问之师
2015年，经数学院建议及专家推荐，我成为科学院个人杰出成就奖候选人。答辩时物理所的于渌院士提了一个问题：“矩阵半张量积作为一种新的运算，会不会带来一种新的代数结构?”坦白地说，我当时并没有真正理解他的问题，只好答非所问，顾左右而言他。
回来以后一细想，才慢慢悟出这个问题的真正内涵，并迅速想到：矩阵半张量积使不同大小的所有矩阵变为一个幺半群。随之而来的一个自然问题是：当它限制在n×n可逆矩阵上时，它就成了一个已知的重要李群——一般线性群GL(n，R)。那么，从幺半群到一般线性群是不是一个同态呢?换句话说，一般线性群是不是那个幺半群的幺子半群?不幸的是，回答是否定的。
这个问题困扰了我很长时间，因为我长期以来一直声称：矩形半张量积是矩阵普通积的一个推广。既然是推广，那么，它们的代数结构怎么会不相容呢？为了解决这个问题，我日思夜想，甚至想构造一个单位元不唯一的半群。在我苦苦思索了大约三年之后，忽然有一天脑洞顿开，领悟到：矩阵半张量积，它本质上不是一个矩阵和另一个矩阵的乘积，而是一类矩阵与另一类矩阵的乘积。在等价类的意义下，相容性问题就彻底解决了。我突然发现，在矩阵的世界里，一切又变成如此和谐。难怪人们说，数学是上帝用来书写宇宙的文字(伽利略)。只是万物的数学内涵，要靠我们去揭示。
等价类的思想对矩阵半张量积理论的发展是革命性的。我从矩阵等价联想到向量等价。矩阵半张量积从经典的矩阵-矩阵半张量积发展到矩阵-向量半张量积，以及向量-向量半张量积。代数结构被应用到有限域、有限环、格，以及各种泛代数的研究上去了。
在研究代数结构的同时，等价类上不同的拓扑结构以及新的微分流形结构也被自然引入了。它成为泛维数线性系统的几何框架。这些工作被总结在一篇91页的长论文《On equivalence of matrices》中。适逢姚鹏飞担任Elsevier系列丛书Mathematics in Science and Engineering的编辑，他邀请我写本书。于是将相关内容整理后形成专著《From Dimension-Free Matrix Theory to Cross-dimensional Dynamic Systems》。最新的进展是给出一种称为泛维流形的纤维丛结构。这种流形每一点维数都不一样，它成为变维控制系统的状态空间。相关的长论文最近被“Communication in Information and Systems”一审接受了。
感谢于渌院士，他的那“一问”让矩阵半张量积理论有了质的飞跃：它与点集拓扑、抽象代数以及微分流形等近代数学紧密地结合到一起了。
Part07
系列丛书的
“撂笔絮语”
由于矩阵半张量积理论与应用的迅速发展，许多概念和结果都在发展变化中，因此，做一个阶段性的澄清和总结显得十分必要。我从2018年开始，产生了写一套丛书的设想。从2019年开始动笔，现已完稿。下面是这套丛书的后记，标题为《撂笔絮语》。
经过前后近五年的努力，这套丛书终于到了完稿的一天。丛书共分五卷，计约2000页。撂笔之际，本人作为丛书的组织者和主要执笔人，难免心情激动。
五年的写作过程，是收集整理已有成果的过程，也是思考总结创新的过程。丛书中的许多结果，其实是在写作过程中发现和发展起来的。这里的许多心血和艰辛，唯有亲历者才能体会。特别是第五卷的统稿阶段，自己身染新冠，一边咳嗽，一边伏案疾书，心中有一种与生命赛跑的壮烈情怀。总把矩阵半张量积看作上天降任赋予我的一项使命，这五卷书，或许可以看作自己对人生的一份答卷。此时的心中充满了感激：对祖国、对父母、对家庭、对人生、对命运、对整个人世间……
今天，我们或许可以自豪地说一句，我们没有辜负国家的期望，我们交出了一份令人满意的成绩单。
如果要用一句非专业语言向普通大众介绍矩阵半张量积，我想说：“它是反映多个数组相互关系的一个清晰的符号，以及操纵多个数组相互作用的一个简单工具。”
拉普拉斯曾经说过：“在数学上发明了优越的符号，就意味着胜利的一半。”经典的矩阵乘法，反映了两个数组间关系，而矩阵半张量积将数组个数推广到任意有限个，因此，它为处理涉及有限个数组的关系的问题提供了一个有效工具。
常常有人问我：“矩阵半张量积到底能用在什么地方?”我想，希尔伯特下面的话也许可以帮我作答。他说：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论，并把陈旧繁烦的东西抛到一边。数学科学发展的这一特点是根深蒂固的。因此，对于个别的数学工作者来说，只要掌握这些有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其他科学更容易地找到前进的道路。”
一种观点认为，自18世纪牛顿——莱布尼兹发明微积分开始，连续数学就在数学中占据了统治地位。但是，随着计算机的出现和数值方法的发展，离散数学可能会逐渐取代连续数学的统治地位。这是因为，以微积分为代表的分析方法只能解决数学问题的汪洋大海中的一些孤岛，而对绝大多数数学问题却无能为力。特别是像费马大定理及庞加莱猜想等问题的证明，极其赘长，可靠性值得怀疑。而大量实际问题属于汪洋大海，只有靠计算机和数值或人工智能等方法来解决。因此，离散数学或有限值数学将对人类社会的发展起更大作用。
以处理多个有穷数组模型为核心的矩阵半张量积正是计算机时代的数学，它的快速发展和广泛应用证明了它适应了时代的需求。这套丛书或许可看作矩阵半张量积理论和应用研究的序曲，矩阵半张量积的进一步发展和大展身手的未来可期。
在历史的长河中，每个单独的人生都只是一个点。纵使是一个闪光点，也未必就是金子，大都只是沙滩上偶然对正了太阳光方向的贝壳，昙花一现而已。然而，一项真正有价值的工作，却可能不断地被人们使用和发展，成为历史长河中永不消逝的一道风景线。愿我们共同努力，为矩阵半张量积这一缕风景线增添自己浓墨重彩的一抹丹青!
经作者许可，文章有少量修改。
来源：中科院系统所微信公众号。
第一卷
《矩阵半张量积讲义 卷一：基本理论与多线性运算》
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第一卷共11章.第1章介绍矩阵半张量积的定义和基本性质;第2章讨论矩阵半张量积在一些典型线性映射与离散型映射中的应用,包括矩阵李代数、张量场、有限值函数等;第3章介绍矩阵等价性,它揭示了矩阵半张量积的代数本质——一种集合运算;第4章推出广义矩阵半张量积,介绍了一般矩阵与矩阵,以及矩阵与向量的矩阵半张量积,它是泛维动力系统研究的基础;第5章给出逻辑系统的半张量积表示,它是逻辑系统代数化的基础;第6章讨论多值逻辑系统和混合值逻辑系统的半张量积方法,是笫5章的推广.第7章利用矩阵半张量积研究布尔代数与布尔矩阵;第8章是第7章的拓展,它将布尔代数方法推广到具有较松“补”条件的泛布尔代数中去;第9章研究基于布尔格的代数,主要讨论它们的分解与泛代数的基;第10章介绍泛代数的概念,并利用矩阵半张量积构造有限泛代数的基;第11章讨论域扩张的矩阵表示,包括扩域和伽罗瓦群的矩阵表示.
目录速览
前言
数学符号
第 1 章 矩阵半张量积.1
1.1 矩阵运算 1
1.1.1 矩阵乘法 1
1.1.2 矩阵运算的代数特征 7
1.2 有限数组的阶与维数 8
1.3 一型矩阵-矩阵半张量积.11
1.3.1 对高阶数组矩阵方法的探索 11
1.3.2 矩阵半张量积的一般定义.14
1.3.3 矩阵半张量积的基本性质.17
1.4 矩阵半张量积的准交换性 23
1.4.1 向量与矩阵的准交换性.23
1.4.2 换位矩阵 24
1.4.3 置换矩阵 27
第 2 章 多线性运算的矩阵半张量积方法 32
2.1 多线性映射 32
2.2 矩阵映射 43
2.3 矩阵的李代数 49
2.4 流形上的张量场.55
2.4.1 从张量到张量场 55
2.4.2 张量场的缩并 56
2.5 有限值函数的半张量积表示.60
2.6 张量积的半张量积表示 64
第 3 章 矩阵的等价性.67
3.1 矩阵半张量积与矩阵等价 67
3.2 等价类元素的格结构 70
3.3 等价类的性质 74
3.4 矩阵半群 76
3.5 矩阵的半张量和.79
3.6 矩阵子集上的代数结构 82
3.7 商空间及其代数结构 87
3.7.1 商空间的么半群结构 .87
3.7.2 商空间上的 M-1 加法 90
3.7.3 商空间上的向量空间结构.91
第 4 章 广义矩阵半张量积 93
4.1 依赖于矩阵乘子的矩阵半张量积 93
4.2 依赖于向量乘子的矩阵半张量积 96
4.3 跨越维数的线性半群系统 98
4.4 广义定常线性系统 101
第 5 章 命题逻辑 103
5.1 命题逻辑与逻辑算子 .103
5.2 布尔函数的矩阵半张量积表示 104
5.3 表达式的转换 107
5.4 逻辑表达式的性质 112
5.5 逻辑问题的代数解 118
第 6 章 多值逻辑与混合值逻辑 121
6.1 多值逻辑的性质与代数表示.121
6.2 多值逻辑的范式与完备性 126
6.3 混合值逻辑 135
第 7 章 布尔代数与布尔矩阵 139
7.1 布尔代数.139
7.2 布尔代数的合成与分解 142
7.3 布尔向量与布尔矩阵 .148
7.3.1 布尔向量空间 148
7.3.2 布尔矩阵 150
7.4 检测问题.153
7.5 逻辑关系方程 155
7.6 逻辑关系方程的 Ledley 解 157
第 8 章 准布尔代数与准布尔矩阵 166
8.1 准布尔代数 166
8.2 准布尔代数的矩阵表示 170
8.3 准布尔代数的同态与同构 183
8.4 准布尔代数的格结构 .187
8.5 乘积准布尔代数.189
8.6 准布尔代数的子代数与商代数 194
8.6.1 准布尔子代数 194
8.6.2 准布尔商代数 199
8.7 准布尔矩阵 199
8.7.1 半环上的矩阵 199
8.7.2 准布尔代数上的矩阵.201
8.7.3 准布尔网络 203
第 9 章 有限格及格代数 207
9.1 有限格代数的矩阵表示 207
9.1.1 有限格的结构矩阵 .207
9.1.2 有限格的补的结构矩阵.209
9.1.3 构造有限格代数 211
9.2 布尔型代数的同态与同构 213
9.2.1 同态 213
9.2.2 同构 214
9.3 布尔型代数分解.216
9.3.1 布尔型代数的乘积 .216
9.3.2 乘积的逆问题 || 分解 217
第 10 章 泛代数 222
10.1 代数结构与泛代数 222
10.2 泛代数的同态与同构.225
10.3 有限泛代数的基底 226
第 11 章 域扩张的矩阵表示 231
11.1 域的有限扩张 .231
11.2 伽罗瓦群.235
11.3 伽罗瓦基本定理 238
11.4 伽罗瓦大定理 .246
11.5 超复数 251
附录 数学基础 253
A.1 向量空间 253
A.2 近世代数 255
A.2.1 群 256
A.2.2 环 260
A.2.3 域 262
A.3 格 263
A.3.1 格的两种定义 263
A.3.2 格同构.265
A.3.3 理想 .267
A.3.4 格的同余关系 268
A.3.5 模格、分配格与有界分配格 269
A.3.6 布尔型代数 271
A.4 点集拓扑 272
A.4.1 拓扑空间.272
A.4.2 距离空间.273
A.4.3 子空间、乘积空间、商空间.274
A.5 纤维丛 275
A.5.1 丛和截面.276
A.5.2 丛的态射.276
A.6 微分几何 277
A.6.1 微分流形.277
A.6.2 向量场.278
A.6.3 余向量场.281
A.7 李群与李代数 282
A.7.1 李群 .282
A.7.2 李代数.284
A.7.3 李群的李代数 285
参考文献.287
索引 294
第二卷
《矩阵半张量积讲义 卷二: 逻辑动态系统的分析与控制》
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第二卷共12章.第1章介绍布尔函数的基本性质及其表示方法;第2章介绍逻辑函数及逻辑网络.这两章是全书的基础.第3章讨论逻辑动态系统的拓扑结构,重点是不动点与极限环的计算、吸引域的确定等.第4章与第5章分别讨论逻辑控制系统的能控性与能观性,这是控制系统最基本的两个性质.第6章介绍代数状态空间方法,包括坐标变换、正规子空间及控制不变子空间等.第7章讨论解耦问题,包括干扰解耦、状态空间解耦以及输入输出解耦等.第8章探讨布尔网络的稳定性与布尔控制网络的可镇定性.第9章讨论辨识问题,包括布尔网络的辨识与布尔控别网络的辨识.第10章讨论逻辑系统的输出调节问题,包括输出跟踪的可解性及跟踪控制的设计.第11章讨论概率布尔网络,包括其代数状态空间的表达、能控性、稳定性与镇定、能观测性等.第12章研究最优控制问题,包括时间最优、平均收益最优、加权总和最优等.
目录速览
前言
数学符号
第1章 布尔函数的表示与结构分析 1
1.1 布尔函数的代数表示 1
1.1.1 伽罗瓦域上的逻辑函数 1
1.1.2 布尔函数的多项式表示 5
1.1.3 Walsh 变换 11
1.2 布尔函数的线性性与对称性 19
1.2.1 线性性 19
1.2.2 非线性性 22
1.3 布尔函数的对称性 25
1.4 Canalizing 函数 28
1.4.1 验证 Canalizing 函数 29
1.4.2 Canalizing 函数的个数 32
1.4.3 级联 Canalizing 函数 37
第2章 逻辑函数与静态逻辑网络 40
2.1 逻辑函数的分解 40
2.1.1 无重叠分解 40
2.1.2 重叠双分解 46
2.2 隐函数存在定理及其应用 52
2.2.1 隐函数存在定理 52
2.2.2 奇异布尔网络 55
2.3 静态逻辑网络的 Ledley 解 57
2.3.1 分割与真值矩阵 57
2.3.2 Ledley 的前提解与推论解 60
2.3.3 混合值逻辑网络的 Ledley 解 67
2.4 Ledley 解的应用 70
2.4.1 广义隐函数存在定理 70
2.4.2 检测问题 73
第3章 逻辑动态系统的结构分析 76
3.1 布尔网络的拓扑结构 76
3.1.1 布尔网络的代数表示 76
3.1.2 吸引子的计算 81
3.1.3 吸引域 88
3.1.4 布尔网络的例子 89
3.2 非齐次布尔网络 96
3.2.1 不同步布尔网络 96
3.2.2 高阶布尔网络 99
3.2.3 高阶布尔网络的第一代数表达式 101
3.2.4 高阶布尔网络的第二代数表达式 108
3.3 k 值逻辑与混合值逻辑 110
第4章 逻辑系统的能控性 114
4.1 普通能控性 114
4.1.1 布尔控制网络的代数状态空间表示 114
4.1.2 能控性矩阵与能控能达 117
4.1.3 一般逻辑系统的能控性 121
4.2 集合能控性 123
4.2.1 集合能控的充要条件 124
4.2.2 网络输入及混合输入的能控性 127
4.3 牵制控制 132
4.3.1 牵制控制网络的代数状态空间表示 132
4.3.2 牵制控制网络的能控性 138
第5章 逻辑动态系统的能观性 142
5.1 四种不同的能观性 142
5.2 能观性的判定 144
5.2.1 输出序列的直接验证 144
5.2.2 演化点对分析 147
5.2.3 辅助系统方法 154
5.3 多值逻辑动态系统的能观性 157
第6章 状态空间方法与坐标变换 159
6.1 布尔网络的状态空间结构 159
6.1.1 状态空间的矩阵表示 159
6.1.2 状态空间的坐标变换 161
6.1.3 正规子空间 164
6.2 不变子空间 169
6.2.1 布尔网络的不变子空间 169
6.2.2 布尔控制网络的不变子空间 172
6.3 布尔网络的标准型 176
6.3.1 标准型的结构 176
6.3.2 标准型的算法 178
6.4 k 值逻辑系统的状态空间方法 180
6.4.1 k 值逻辑网络的状态空间与坐标变换 181
6.4.2 k 值逻辑网络的正规子空间与不变子空间 182
第7章 状态空间的解耦 188
7.1 布尔网络的干扰解耦 188
7.1.1 干扰解耦方程与输出友好子空间 188
7.1.2 状态反馈控制的设计 196
7.1.3 定常控制下的干扰解耦 203
7.1.4 状态反馈干扰解耦 205
7.2 Morgan 问题 208
7.2.1 Morgan 问题的模型形式 208
7.2.2 相容输出解耦子空间 210
7.2.3 输入输出解耦的反馈控制实现 214
7.2.4 Morgan 问题的解 218
第8章 稳定性与镇定 221
8.1 逻辑系统的稳定性 221
8.2 全局稳定性 224
8.3 布尔控制网络的镇定 231
8.4 状态反馈镇定控制的设计 234
8.5 集合镇定 243
8.6 一般逻辑网络的镇定 247
第9章 逻辑系统辨识 250
9.1 布尔网络的辨识 250
9.1.1 辨识的唯一性问题 250
9.1.2 布尔网络辨识的要求与算法 251
9.2 布尔控制网络的辨识 256
9.3 混合值逻辑系统的辨识 261
第10章 输出调节 264
10.1 控制不变集 264
10.2 输出调节的集合能控性方法 271
10.2.1 参考系统轨道跟踪 271
10.2.2 参考系统的输出跟踪 273
10.3 输出调节控制设计 275
10.3.1 开环控制设计 275
10.3.2 闭环控制设计 276
10.3.3 一个生物网络的例子 277
第11章 概率布尔网络 283
11.1 马尔可夫链简介 283
11.1.1 概率转移矩阵 283
11.1.2 状态分类 284
11.1.3 随机矩阵的收敛性 287
11.2 概率布尔网络的矩阵表示 289
11.3 概率布尔网络的能控性 297
11.4 稳定性与镇定 301
11.4.1 概率布尔网络的稳定性 301
11.4.2 概率布尔网络的镇定 304
11.5 概率布尔网络的能观性 306
11.5.1 模型与能观性 306
11.5.2 集合能达性 308
11.5.3 依概率 1 有限时间可达 312
11.5.4 依分布渐近可达 313
11.5.5 能观性的检测 317
第12章 最优控制 324
12.1 时间最优控制 324
12.2 平均值最优控制 328
12.2.1 输入–状态转移图 328
12.2.2 逻辑控制网络的拓扑结构 332
12.2.3 最优控制设计 338
12.3 概率逻辑网络的优化控制 343
12.3.1 有限时间最优控制 343
12.3.2 无限时间基于预测控制的优化 347
参考文献 353
索引 362
第三卷
《矩阵半张量积讲义 卷三: 有限博弈的矩阵半张量积方法》
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《矩阵半张量积讲义》的第三卷主要介绍有限博弈的矩阵半张量积方法。主要内容包括:网络演化博弈的建模与控制；势博弈的检验与应用；有限博弈的向量空间结构与正交分解；博弈的优化与策略学习方法；若干合作博弈的特征函数与分配的矩阵表达等。基于可读性的要求，在介绍矩阵半张量积有限博弈研究中的新进展的同时，也对博弈论的相关基础知识做了自足自洽的介绍。本书所需要的预备知识仅为工科大学本科的数学知识，包括线性代数、微积分、常微分方程、初等概率论。相关的线性系统理论及点集拓扑、抽象代数、微分几何等的初步概念在卷一附录中已给出。不感兴趣的读者亦可略过相关部分，这些不会影响对本书基本内容的理解。
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前言
第1章 有限非合作博弈 1
1.1 有限博弈的数学模式 1
1.2 伪逻辑函数 3
1.3 纳什均衡 6
1.4 混合策略与纳什定理 8
1.5 纳什定理的证明 9
第2章 矩阵博弈 14
2.1 Rn中的凸集 14
2.2 矩阵博弈及其纳什均衡点 17
2.3 混合纳什均衡的存在 21
2.4 矩阵博弈的等价性 22
2.5 计算纳什均衡 23
第3章 网络演化博弈 29
3.1 演化博弈与受控演化博弈 29
3.2 网络演化博弈的数学模型 34
3.3 结点的基本演化方程 40
3.4 依赖于状态的演化博弈 45
3.4.1 确定型时变演化博弈 46
3.4.2 混合型时变演化博弈 50
3.5 策略演化与局势演化 53
3.6 网络演化博弈的控制 58
3.7 基于网络图的演化博弈 60
3.7.1 网络的局势演化方程 61
3.7.2 猜硬币的网络演化博弈 65
3.8 网络演化博弈的拓扑结构 68
3.8.1 不动点与极限环 69
3.8.2 纯纳什均衡点 70
第4章 演化稳定策略 76
4.1 生物系统中演化策略的稳定性 76
4.2 有限博弈的演化稳定策略 78
4.3 网络拓扑与策略演化 86
4.3.1 非对称网络演化博弈 86
4.3.2 齐次网络演化博弈 92
4.4 策略的收敛性 96
4.4.1 有限演化博弈策略的拓扑结构 96
4.4.2 齐次网络的策略收敛性 99
4.5 博弈的演化等价 106
第5章 受限逻辑系统与智能系统的控制 109
5.1 受限逻辑动态系统 110
5.2 系统的能控性分析 111
5.2.1 受限逻辑动态系统的能控性 113
5.2.2 受限周期逻辑动态系统的能控性 114
5.3 智能规划问题的控制 115
5.3.1 农夫-狼-羊-白菜的渡河问题 115
5.3.2 传教士与食人族的渡河问题 117
第6章 势博弈 122
6.1 势博弈及其基本性质 122
6.2 势方程 124
6.3 势方程的结构与解 128
6.4 网络演化势博弈 135
6.5 加权势博弈 141
6.5.1 加权势博弈方程的双线性表示 141
6.5.2 权重的计算 144
6.6 余集加权势博弈 148
6.6.1 余集加权势博弈的代数结构 148
6.6.2 余集加权两个玩家布尔势博弈 151
6.7 从布尔博弈到势博弈 152
6.7.1 布尔博弈与对称博弈 153
6.7.2 对称布尔博弈 154
6.7.3 检验布尔博弈的对称性 156
6.7.4 从对称博弈到势博弈 161
6.7.5 加权布尔博弈 165
6.7.6 重置名布尔博弈 168
6.7.7 翻转对称布尔博弈 170
第7章 不完全信息博弈 173
7.1 静态贝叶斯博弈 173
7.2 贝叶斯-纳什均衡 178
7.3 贝叶斯博弈的转换 180
7.4 贝叶斯势博弈 183
7.5 动态贝叶斯博弈 190
第8章 有限博弈的向量空间 199
8.1 势博弈的子空间结构 199
8.2 非策略子空间 202
8.3 纯势博弈子空间 207
8.4 纯调和子空间 208
8.5 有限博弈的结构分解 214
8.5.1 子空间投影 214
8.5.2 正交分解 215
8.6 演化与博弈空间分解 220
8.6.1 空间分解与演化等价 220
8.6.2 网络演化博弈的子空间分解 222
8.7 近似势博弈 225
第9章 对称与反对称博弈 229
9.1 反对称博弈和非对称博弈 229
9.1.1 线性表示 230
9.1.2 反对称博弈的存在性 236
9.2 基于对称性的有限博弈空间分解 238
9.2.1 一个低维博弈空间的例 238
9.2.2 两人博弈空间 240
9.2.3 子空间基底 242
9.2.4 子空间正交性 245
9.2.5 有限博弈分解公式 247
第10章 基于学习的博弈演化 249
10.1 博弈学习的一般框架 249
10.2 常见的博弈学习规则 251
10.2.1 短视最优响应学习 252
10.2.2 逻辑响应学习 252
10.2.3 虚拟学习 254
10.3 状态演化博弈 255
10.3.1 状态演化博弈的数学模型 255
10.3.2 状态势博弈及其学习规则 258
10.4 基于状态势博弈设计的多个体系统优化 259
10.4.1 局部信息依赖的收益函数设计 260
10.4.2 状态演化过程设计 261
10.5 一般状态演化博弈的学习规则 265
10.5.1 基于两步记忆的较优响应学习规则 266
10.5.2 收敛性分析 268
10.5.3 应用举例 275
第11章 基于博弈的优化与控制 281
11.1 博弈系统的优化控制问题描述 281
11.1.1 人机博弈 281
11.1.2 常见的性能指标函数 282
11.2 纯策略模型的拓扑结构 282
11.3 平均支付的最优策略 287
11.4 混合演化策略模型 293
11.5 有限次混合策略最优控制 294
11.6 无限次混合策略最优控制 300
第12章 零行列式策略 304
12.1 矩阵博弈中的零行列式策略 304
12.2 从个体策略到局势转移矩阵 306
12.3 有限博弈中的零行列式策略 309
12.4 在网络演化博弈中的应用 313
12.4.1 虚拟对手玩家 314
12.4.2 网络演化博弈的零行列式策略 315
第13章 连续策略势博弈的量化方法 318
13.1 连续博弈 318
13.2 有限势子博弈 320
13.3 n元线性插值算法 320
13.4 合并插值算法 323
13.5 *势博弈 327
第14章 合作博弈的矩阵方法 331
14.1 特征函数 331
14.2 常和博弈的特征函数 336
14.3 两种特殊的合作博弈 339
14.3.1 无异议博弈 339
14.3.2 规范博弈 343
14.4 分配 345
14.5 核心 349
14.6 核心的存在性 353
14.6.1 简单博弈 353
14.6.2 凸合作博弈 355
14.6.3 对称合作博弈 356
14.7 稳定集 357
14.8 Shapley值 362
14.9 Shapley值与核心的关系 372
参考文献 374
索引 382
第四卷
矩阵半张量积讲义 卷四：有限与泛维数动态系统
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第四卷主要内容包括两个部分：①一般有限集合上的动态系统的建模与控制,主要介绍有限集（包括有限环与有限格）上的动态系统。②跨维数欧氏空间的拓扑结构、等价性与商空间、跨维数动态系统及跨维半群系统的建模与控制。矩阵半张量积为这两类系统的研究提供了有效的工具。本书所需要的预备知识仅为工科大学本科的数学知识,包括线性代数、微积分、常微分方程、初等概率论。相关的线性系统理论及点集拓扑、抽象代数、微分几何等的初步概念在卷一附录中已给出。不感兴趣的读者亦可略过相关部分,这些不会影响对本书基本内容的理解。
目录速览
第1章 有限集上的动态系统 1
1.1 有限集上的映射 1
1.2 有限值动态系统 6
1.3 有限值动态系统的拓扑结构 9
1.4 有限值控制系统 12
1.5 有限值网络的能控性与能观性 13
1.5.1 能控性 13
1.5.2 能观性 15
1.6 坐标变换与标准型 17
1.7 随机型有限值系统 20
第2章 状态空间及其对偶空间 25
2.1 状态空间及其子空间 25
2.2 对偶空间 28
2.3 布尔网络的分割子空间 33
2.3.1 分割函数与不变子空间 33
2.3.2 不变子空间的并 36
2.3.3 布尔网络的聚类动态系统 39
2.4 布尔控制网络的不变子空间 43
2.5 布尔控制网络的最小实现 44
2.6 社会观点网络的最小实现 49
第3章 对偶网络与隐秩序 55
3.1 有限值网络的状态空间与对偶空间 55
3.2 对偶网络 59
3.3 对偶k值网络 61
3.3.1 对偶网络演化方程 61
3.3.2 对偶吸引子 64
3.3.3 不变子空间 65
3.4 吸引子与对偶吸引子 66
3.5 X上的布尔代数结构 70
3.6 隐秩序与控制网络的实现 74
3.6.1 隐秩序的结构 75
3.6.2 k值控制网络的实现 77
第4章 格与有限格上的网络 81
4.1 格论初步 81
4.2 P0代数 85
4.3 P1格 91
4.4 Post代数 93
4.5 有限格上的逻辑网络 98
4.5.1 Post函数 98
4.5.2 k值网络的格结构 100
4.5.3 混合值网络的格结构 102
4.6 定义在格上的多值网络 103
4.7 多值生物网络的异步实现 105
第5章 有限环上的网络 109
5.1 环与子环 109
5.2 有限环运算的矩阵表示 112
5.3 有限环上的网络的性质 115
5.4 理想上的子网络 121
5.5 乘积环上的网络 128
5.5.1 乘积环 128
5.5.2 乘积网络 133
5.6 分解 136
5.7 乘积环上的控制网络141
5.8 线性网络 145
5.9 网络的有限环表示 149
第6章 完美超复数 154
6.1 从超复数到完美超复数 154
6.1.1 超复数的代数结构 154
6.1.2 完美超复数元素的逆 157
6.1.3 超复数代数的同构 158
6.2 低维完美超复数 159
6.2.1 二维超复数 159
6.2.2 三维超复数 161
6.2.3 四维超复数 163
6.2.4 高维超复数 165
6.3 完美超复数矩阵 166
第7章 泛维数状态空间 170
7.1 混合维数伪向量空间 170
7.2 等价向量 171
7.3 泛维向量空间的距离 178
7.4 右等价 180
7.5 泛维数向量空间上的拓扑 182
7.6 跨维空间投影 183
7.7 线性系统的最小方差逼近 186
7.8 线性变维数系统的近似系统 188
第8章 泛维欧氏空间与泛维欧氏流形 193
8.1 从等价向量到商向量空间 193
8.2 泛维欧氏空间的拓扑 196
8.3 泛维欧氏空间上的纤维丛结构 198
8.4 从邻域丛到连续函数 200
8.5 从泛维欧氏空间到泛维欧氏流形 203
第9章 泛维欧氏空间上的微分几何 207
9.1 泛维欧氏空间上的向量场 207
9.2 泛维欧氏空间上的余向量场 212
9.3 泛维欧氏空间上的分布与余分布 215
9.3.1 泛维欧氏空间上的分布 215
9.3.2 泛维欧氏空间上的余分布 217
9.4 泛维欧氏空间上的张量场 218
9.5 泛维黎曼流形与泛维辛流形 220
第10章 泛维欧氏空间上的控制系统 223
10.1 非线性控制系统 223
10.2 矩阵与线性向量场 225
10.2.1 矩阵半张量积与矩阵格结构 225
10.2.2 线性向量场 227
10.3 线性控制系统 229
第11章 泛维矩阵空间 233
11.1 泛维矩阵空间的等价性与格结构 233
11.2 等价类的性质 237
11.3 矩阵集及其等价类上的半群结构 241
11.3.1 矩阵半群 241
11.3.2 矩阵集合上的向量空间结构 244
11.3.3 矩阵子集族的群结构 246
11.4 矩阵空间的商空间 247
11.4.1 矩阵商空间的么半群结构 247
11.4.2 矩阵商空间上的加法 250
11.4.3 商空间上的向量空间结构 251
第12章 矩阵商空间的拓扑结构 254
12.1 矩阵集上的拓扑 254
12.1.1 矩阵商空间上的乘积拓扑 254
12.1.2 矩阵空间的丛结构 258
12.1.3 矩阵商空间的坐标系统 261
12.2 矩阵及其等价类上的距离 265
12.2.1 内积 265
12.2.2 商矩阵空间上的距离与距离拓扑 269
12.2.3 矩阵商空间的子空间 272
第13章 泛维线性半群系统 275
13.1 半群动态系统 275
13.2 广义矩阵半张量积 277
13.2.1 基于乘子的矩阵半张量积 277
13.2.2 不同类型的矩阵半张量积 282
13.3 矩阵的泛等价性 285
13.3.1 基于矩阵乘子的等价性 285
13.3.2 等价矩阵的商空间 287
13.3.3 矩阵的商空间拓扑 288
13.3.4 向量空间的等价性 289
13.4 矩阵半群上的系统 294
13.4.1 线性动态系统 294
13.4.2 商空间上的线性半群系统 297
第14章 半群系统的动力学分析 299
14.1 泛维欧氏空间上的线性半群系统 299
14.1.1 矩阵的算子模 303
14.1.2 商空间上的线性半群系统 305
14.2 不变子空间 307
14.2.1 固定维不变子空间 307
14.2.2 跨维数不变子空间 313
14.2.3 高阶线性映射 316
14.2.4 商向量空间上的不变子空间 319
14.3 泛维数线性系统 321
14.3.1 离散时间泛维系统 321
14.3.2 时不变线性系统 323
14.3.3 离散时间线性系统的轨线 326
14.3.4 连续时间线性系统的轨线 327
14.4 形式多项式 331
14.4.1 矩阵的直和 331
14.4.2 形式多项式空间的距离拓扑 335
14.4.3 商空间的形式多项式 337
14.4.4 基于多项式的代数结构 340
第15章 线性控制半群系统 342
15.1 线性控制半群系统的模型与分析 342
15.1.1 离散时间线性控制系统 342
15.1.2 连续时间线性控制系统 345
15.2 商空间上的半群线性系统 349
15.2.1 商向量空间、商矩阵空间及其半群系统 349
15.2.2 商形式多项式 351
15.2.3 商空间上的线性系统 352
15.2.4 商空间上的稳态实现 354
15.3 有穷维投影实现 359
15.3.1 离散时间系统的投影实现 359
15.3.2 离散时间控制系统的投影实现 361
15.3.3 连续时间系统 361
第16章 泛维李代数与李群 363
16.1 商矩阵空间上的李代数 363
16.1.1 丛结构下的李代数 363
16.1.2 李子代数丛 365
16.1.3 李代数丛的性质 368
16.2 矩阵商空间上的李群 373
16.2.1 线性李群丛 373
16.2.2 李群丛及其李代数丛 374
16.2.3 李子群丛 375
16.2.4 对称群 377
16.2.5 形式商多项式的李代数 378
参考文献 379
索引 386
这套书只要求读者具有大学本科工科专业所需掌握的数学工具,但部分内容涉及一些近代数学的初步知识.为了使本丛书具有良好的完备性,以增加可读性,第一卷书末添加了一个附录,对一些用到的近代数学知识做了简要介绍.如果仅为阅读本丛书,这些知识也就足够了.
（本期编辑：王芳）
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