量子计算在金融领域的应用｜综述荐读

光子盒研究院

近期，一篇发表在arXiv的论文从不同角度概述了量子金融领域的最新工作：包括投资组合优化，欺诈检测，以及用于衍生品定价和风险计算的蒙特卡罗方法。

From Portfolio Optimization to Quantum Blockchain and Security: A Systematic Review of Quantum Computing in Finance

作者表示，这篇评论旨在成为一座桥梁，填补量子计算和其最突出的应用领域之一之间的空白：金融。“我们将为行业从业者和学术界提供金融和量子技术交叉领域的最先进成果。”

2.1. 量子算法赋能投资组合优化

2.2. 两大主要计算模型：量子退火和门模型

4.1. 衍生品定价

4.2. 风险计算

量子计算是一个新兴的、发展中的领域。政府、公共和私人公司都对这一新兴领域投入了大量的研究和资金，因为它有可能以极大的精度解决NP-hard问题。 

近年来，量子计算的话题也获得了大量关注：不仅来自物理学或计算机科学领域，也来自潜在的应用领域；其中一个被广泛认为可能产生量子效益的领域是金融。

然而，在金融领域，有几个主题，正在探索量子计算的可能性；因此，要对这些可能性有一个连贯的概述是相当困难的。该论文旨在提供一个广泛的概念视图，并讨论了广泛的量子金融相关工作。

这项工作的目标是提供一个关于量子金融领域的最新工作。它特别建立在最近的工作基础上，可以看作是对2021年到2023年量子界研究的总结。然而，本文的贡献在于从应用的角度讨论了这些工作。

这篇文章对研究和金融界最感兴趣的三个领域的工作进行了详细说明：在简单介绍了量子计算的基础知识和最重要的算法之后，主要考虑了投资组合优化、欺诈检测、衍生品定价和风险计算的蒙特卡罗方法的应用。

此外，团队还强调了量子计算在区块链领域的应用研究：研究了量子区块链、量子采矿，同时讨论了其在金融领域的现实构建的障碍和优势。

投资组合是来自相同或不同资产类别的金融资产的集合，是为了达到某种目的而建立的。金融资产包括黄金、股票、债券等资产。投资组合的目标可以是赚取积极的或适度的回报，将风险降到最低，或对风险和回报采取平衡的方法。  

一个有效的投资组合是在给定的风险水平下实现最大的收益。投资组合优化是投资组合选择和管理过程中的一个关键因素，它使投资组合经理能够在动态的市场条件下（如市场价格波动、利率变化以及动态的法律和政治情况下），在现有的投资组合中做出最佳选择。

马科维茨投资组合模型为我们提供了资本市场线（CML），它代表了资本市场上的风险-收益权衡，其公式拟定如下：

其中，rp = 预期投资组合收益、irf = 无风险利率、rm = 市场投资组合收益、σp = 投资组合的标准偏差σm = 市场的标准差。

这个模型旨在通过分散投资组合和考虑风险收益权衡来降低风险，从而为投资者提供一个基于其风险偏好的有效投资组合。

投资组合优化问题中的每一类资产都被分配了一个权重。资产的选择是基于风险、收益、平均期限、流动性等因素。以往研究都将投资组合优化问题根据其公式分为两类进行讨论：凸式和组合式的表述。投资组合优化技术已经从平均方差、带偏度的方差、风险价值Jorion、条件风险价值、平均绝对偏差和Minimax等技术发展到更先进的基于启发式和元启发式的方法。

现在，进化算法和蜂群智能已经成为投资组合优化的热门选择；除了以上列举的经典方法，业界也在探索一些量子和量子启发的算法用于投资组合优化。

作为一个优化问题，投资组合优化也受到了“维度诅咒”的影响：数据的维度迅速增加，导致数据量也在增加；这导致数据变得越来越分散，难以聚类。量子计算有希望解决这个问题，因为它有能力比经典计算更快地处理更大的计算。投资组合优化问题中的每一类资产都被分配了一个权重，并且根据风险、回报、平均期限、流动性等因素选择资产。

投资组合优化问题根据其形式可以分为两类：凸式和组合式计算。

组合公式是使用整数优化的公式，只使用二进制优化问题。整数优化问题是一个数学优化或可行性程序，其中部分或全部变量被限制为整数，二进制优化问题是整数优化的变体，只使用0和1作为变量。金融优化问题可以转换为二次无约束二值优化（QUBO）问题，然后可以与伊辛哈密顿量(Ising Hamiltonian)联系起来。找到伊辛哈密顿量的基态就相当于找到我们QUBO问题的最优解，即我们的最优投资组合。

现在，研究人员已经使用了QUBO公式，并囊括了预算和相关考虑的约束，以找到是否包括基于风险的资产、是否有多头或空头。二元变量约束的均值-方差组合优化问题还包括期望的回报水平。研究人员也已经能够在多个时间步骤中显示出速度的提高和动态决策。用于这些优化问题的量子算法适合NISQ时代；由于与基于门的模型相比，量子比特的数量更多，所以一般依赖于量子退火。

凸式公式使用采用凸式优化的量子算法。均值变异组合优化问题可以被重新表述为一个凸问题。这些问题的解决方案告诉用户投资于资产的金额比例，而不是“是否将该资产纳入投资组合”。

研究人员用于投资组合优化的两个主要计算模型是量子退火（例如，D-Wave的系统）和基于门的模型（例如，IBM的设备）。量子退火适用于某些问题（如优化问题），而基于门的模型在可以使用该模型解决的问题方面更加普遍。量子退火系统已经能够实现比基于门的系统更稳定的量子比特，然而，这些量子比特面临着低连接性的问题。

例如，阿布扎比证券交易所股票的马科维茨投资组合优化问题被表述为QUBO，研究人员利用了D-Wave系统的Chimera架构来解决这类问题。不止如此，研究人员还讨论了使用2000Q D-Wave量子退火器解决马科维茨投资组合优化问题的量子-经典混合方法。 

讨论中的应用是一个基金经理使用一种特定的交易策略从基金宇宙中选择一个合适的基金；在42-60个资产的问题规模上，在解决的时间上能够击败纯粹的经典解决方案（即遗传算法）。研究人员还建议，从Chimera架构过渡到Pegasus架构将大大改善性能。

另外还有研究，作者使用D-Wave的2000Q量子退火器，按照买入并持有的策略，分别对40和60只美国股票进行了投资组合优化。其结果与经典算法进行了比较。研究人员肯定地说，结果表明，随着所考虑资产数量的增加，“量子优势”是可能的。

他们开发了CQR（芝加哥量子比率）和CQNS（芝加哥量子净值）作为夏普比率的改进，因为D-Wave量子退火器只能处理线性二次方程而不是比率问题。

其中Covim是第1项资产与整个市场的协方差，w是我们投资组合中资产的权重向量，σa是资产集合的标准差。

Rw是一个加权组合，α∈R，选择它是为了保持相等的权重，即wi=1/n，其中n是包括的资产数量，α被保持在1附近。

在40个资产的情况下，D-Wave的2000量子退火器表现良好。他们在CQNS（在指定的风险量上获得更好的回报的股票）方面获得了比蒙特卡罗方法更好的结果，但比遗传算法表现得差。在60种资产的情况下，D-Wave量子退火器也能够与包括模拟退火在内的经典方法一起找到理想的投资组合。

另一项使用D-Wave的Advantage量子退火器的研究提出使用一个经典的预处理步骤和一个修正的QUBO模型。经典的预处理步骤包括回测一个交易策略，并计算这些收益的夏普比率和方差。然后根据夏普比率选择前18个资产组合，用QUBO公式进行组合优化。使用量子退火的方法的实施显示了潜力，但在夏普比率方面被模拟退火和数字退火所超越了。

现在，让我们来谈谈一些基于门的方法。QAOA和VQE算法被认为是解决NISQ时代器件上组合优化问题的良好候选方案。QAOA非常适用于门模型量子器件。目前，已有作者提出了一种利用CVaR(Conditional Value at Risk)来改善测量系统的结果的方法。

QAOA和VQE的主要目标是通过找到描述能量的全局最小值（或足够接近全局最小值的点）来找到问题的最优解。

系统的能量被编码为哈密顿的期望值，由⟨ψ（θ）|H|ψ（θ）⟩给出，这就是所谓的目标方程。

QAOA和VQE的目的是解决以下方程：

上述方程的解是全局最小值的点。

上述的合理近似值可以通过使用样本平均值来实现。组合优化问题的哈密顿方程通常是以这样的方式构建的，因此存在一个基态。然而，很难处理一个维度很大的哈密顿量，因此一个替代方法是进行有限测量，并选择与这些测量对应的最小特征值。有限值的最小值不是一个平滑的目标函数，因此，采用了CVaR。

在这种情况下，使用CVaR作为目标函数的测量系统特别适合。CVaR作为目标函数是X的分布的低α尾巴的期望值，其中X代表与测量状态对应的所有特征值。

使用minθ CVaRα (X(θ))（而不是X(θ )）作为目标函数，既平滑了目标函数，又改善了最佳测量结果。与使用样本平均数相比，这种方法能更快地收敛到解决方案，从而提供更快的结果。

除了QAOA和量子退火之外，我们还有绝热量子优化算法。为了能够在门模型量子计算机上实现，引入了绝热量子计算的数字化版本。已有团队研究了数字化反绝热量子计算（DCQC）和数字化反绝热QAOA（DC-QAOA）。当使用绝热定理解决组合优化问题时，最优组合由问题哈密顿的基态表示。目的是增加找到这个基态的成功概率，同时考虑到有限的相干时间和器件噪声，这是通过使用近似反绝热驱动（CD）条款实现的。

在绝热系统中，解决方案是通过允许初始哈密顿量演化为一个哈密顿量，其基态与问题哈密顿量的基态重叠而获得。系统需要有足够的时间来演化到所需的哈密顿量；然而，在目前的设备中，由于有限的相干时间和设备噪声，这变得很困难。 

当一个绝热系统被迫快速演化时，会导致特征态之间的非绝热过渡；这些过渡反过来又阻碍了结果。因此，有人提出了一个解决方案，即引入一个额外的项，称为反绝热驱动项（CD项），以便补偿这些激励，由此产生的演变将是准绝热的。在数字化反绝热量子近似优化算法（DC-QAOA）中，反绝热（CD）驱动被利用来引入一个额外的单元UD（α），称为CD项。

然而，这种方法不太有效，因为它需要在一个非常大的解决方案的空间中搜索最佳解决方案。 因此，有科学家使用了一种混合算法：使用经典方法找到一个近似解，然后使用连续-时间-量子-行走算法。这种方法将搜索区域减少到一个较小的子空间。对一个有约束和无约束问题的经验评估表明，所提出的算法优于经典的替代方法。

在一篇论文中，对量子计算机使用基于QAOA的均值-方差投资组合优化（QAOA-MVPO）解决投资组合优化问题的成功进行了基准测试。该研究比较了量子模拟器（密集状态矢量模拟和基于随机射击的模拟）和IBM（超导量子比特）、Rigetti（超导量子比特）和IonQ（捕获离子量子比特）提供的真实设备的性能。

不同QPU的性能比较

就QAOA对当前硬件的适用性对不同版本的QAOA进行基准测试，对于了解哪个版本最适合开发者的需求至关重要。在另一篇文献中，作者解决了这个问题，并对不同版本的QAOA的性能进行了详细分析。他们还研究了统计采样误差以及门和读出误差的影响。当不同的资产组成投资组合时，QAOA在寻找解决方案方面的性能是不同的。作目标函数方差的这种增加相当独特，即投资组合彼此之间有很大的不同；该问题优化了来自德国指数DAX的资产组合。

一种新的Layer-VQE方法是VQE的一种变体，用于组合优化问题。数值显示，与QAOA相比，L-VQE在门数方面的性能要好得多：QAOA的门数呈四次方增加，而LVQE的门数呈线性增加，而VQE在处理有限采样误差和近似比（用于检查结果质量的比率，越高越好）方面的性能则随着L-VQE解析的每一层而增加，随着VQE解析的每一层而减少。哈密顿中的多体项也使QAOA的实现更加困难。

还有研究人员考虑到公司基本面的约束条件，使用了流动比率，也处理了每个行业的资产分配。

我们还需要确保我们的问题正确处理我们的约束条件，最好是任意的约束条件，以确保符合市场和法规的不断变化动态，并提供最佳的解决方案。有作者处理了投资组合优化的问题，其中：

- 案例1：对投资组合的总规模有一个不平等的约束，即：

- 案例2：除了上述对投资组合规模的不平等约束外，作者还包括对总预期收益的约束，即：

在QAOA中，混合算子确保演化发生在约束条件下的子空间中，但是设计一个有效的混合算子是一个困难的过程，还需要有效的Trotterization（将演化分解成更小的组成部分的过程）。

对于QAOA，根据科学家推导出的缩放规则：在QAOA中，测量次数与层数呈线性增长，与量子比特的数量呈二次增长。对于QAOA和L-VQE来说，可以通过更多的测量来提高约束内概率。

量子计算机在外汇管理中的应用在也得到了讨论。作者专注于风险管理，使用基于量子蒙特卡罗算法，以及使用IBM量子处理器的QUBO与QAOA方法和HHL方法进行投资组合构建。

他们使用一个小型的5个资产组合优化问题进行研究。对于使用QUBO-QAOA的投资组合构建，观察到模拟器的表现与经典设备相当，因为它们选择了最有效的投资组合。量子设备也返回正确的解决方案。迭代次数受量子体积的影响很大。然而，对于使用HHL的投资组合操作，由于退相干和当前设备无法处理矩阵中的负特征值，量子设备遭受失败。风险管理算法未能计算出风险参数，主要可能是由于难以区分低百分位数。

由于目前NISQ时代设备的局限性，HHL算法存在一些缺点。因此，研究人员提出了一种NISQ-HHL算法，用于解决小规模（6和14个资产）的平均变量组合优化问题。这项工作被认为是对上述工作的改进，因为他们用量子条件逻辑（QCL）增强的QPE取代了标准的量子相位估计（QPE），用于特征值估计，这有助于减少辅助量子比特数量、SWAP门数量和对量子比特连接的需求。他们还使用了额外的功能，如电路中的测量和量子比特的重置和重复使用。

捕获离子Quantinuum系统模型H1被使用，因为它支持QCL、电路中段测量以及量子比特重置和重复使用。在他们的研究中，QCL-QPE取得了比标准QPE更高的保真度。

除了量子策略外，还存在另一类利用量子启发算法的策略。研究人员采用全局最佳引导的量子启发的禁忌搜索(tabu search)与自适应策略和量子-NOT门（ANGQTS）进行投资组合优化，因为它比传统方法在道琼斯30指数的美国股票上具有更好的可搜索性。这也允许在高解空间中进行灵活的基金分配。带有量子NOT门的全局最佳引导的量子启发的塔布搜索 GNQTS是量子启发的禁忌搜索（QTS）的一个变种，旨在实现全局最佳解，也利用了量子NOT门。使用量子NOT的策略使他们能够跳过局部最优解的问题。自适应机制的加入使其能够处理更复杂的解空间，使其成为ANGQTS。统计测试证明，ANGQTS在加权分配组合优化上比GNQTS取得了明显的改进。

以上讨论的作品可以按照它们所基于的量子计算模型进行分类（详情可参照原文）：

欺诈检测是银行维持对客户的信任和保护其资产的一项重要职能。然而，传统的欺诈检测方法依赖于基于规则的系统和统计分析，其检测复杂欺诈计划的能力可能有限。

具体来说，量子计算可以用来分析各种来源的数据，如交易记录、社交媒体和其他公共信息，以识别欺诈活动。此外，量子计算还可以帮助银行的网络安全工作，为敏感数据提供更强的加密，确保数据泄露和其他类型的网络攻击不会导致财务损失。总的来说，量子应用于银行的欺诈检测仍处于早期阶段，需要大量的研究来开发实际实施所需的算法和基础设施。然而，量子计算在这一领域的潜在好处可能使其在未来成为银行业的重要技术。

该领域的首个实验是通过Qiskit软件使用IBM Safer Payments和IBM量子计算机在金融支付行业中对量子支持矢量数学（QSVM）算法的端到端应用。该研究使用实际的银行卡支付数据来比较最先进的量子机器学习算法与经典方法的性能。研究人员还探索了一种新的方法，利用QSVM的特征图特性搜索最佳特征。对经典的机器学习算法（随机森林、XGBoost）、使用QSVM的基于量子的机器学习算法和人类的专业知识（规则决定）的关键性能指标，如准确率、召回率和假阳性率进行了比较。此外，本文还探讨了一种混合的经典-量子方法，该方法使用经典和量子算法相结合的集合模型来改进防欺诈决策。

在同一数据集上对三种方法进行了比较：

- 领域专家创建的基于决策规则的模型（无机器学习）；

- 使用提升树（随机森林、XGBoost）的最先进类型的AI/ML；

- 量子支持向量机（QSVM）类型模型。

作者使用的数据包括240万笔支付交易。每笔交易都被标记为欺诈或非欺诈，总共有3千笔交易被标记为欺诈。有12个特征来自交易数据，2个特征来自人口数据，其余的特征是通过发现技术产生的。由于数据是高度不平衡的，作者尝试了一些类型的欠采样技术(under-sampling technique)。

在所有可能的量子方法中，也有研究着重于QSVM。这项工作的动机是在两个部分利用QSVM方法，以优化欺诈检测系统。首先是确定在众多可用的特征中应该选择哪一个来降低数据集的维度，以便在量子系统上运行实验；第二是从量子机器学习模型中得出欺诈的关键绩效指标。使用量子方法还需要限制几个重要的特征，这样所需的量子比特数量就不会太多，并减少数据点的数量。使用欠采样技术来缩小数据规模是一个重要的前提条件。

所有的数据值也使用MinMaxScaler包进行归一化处理，作为量子处理的一个更方便的选择。

对于特征选择，作者没有使用特征重要性、PCA或混合数据因子分析（FAMD）方法的标准经典方法，而是开发了一种量子算法，可以使用量子特征图和量子核来确定最佳特征。

作者采用了Qiskit框架，其中包括一个量子核类和一个ZZ特征图，ZZ特征图被用来将每个数据点映射到一个量子状态，而这些状态的内积被用来生成内核矩阵。他们的方法受到前馈特征选择（FFFS）方法的启发，该方法是基于AUC或准确率等统计指标。通过使用这种方法，作者能够在问题中反复选择越来越多的特征。

随机森林、XGBoost和QSVM在欠采样后的平衡数据集上的结果显示，所有方法在测试数据上的AUC大致相似，可接受的差异约为0.01，而QSVM在测试数据上的准确度比其他方法高2%。

为了提高分类性能，作者将量子算法和经典算法的优势结合起来。为了做到这一点，他们确定了量子算法和经典算法有不同分类的交易或数据点。然后他们在这些“不一致”的数据点上训练了一个元分类器，以预测哪种分类是正确的。他们在训练数据集上同时训练量子和经典算法，并注意到两个算法有分歧的任何交易。这些交易形成了一个较小的数据集，他们在此基础上训练了一个元分类器，该分类器可以使用原始数据集的任何特征。由于有分歧的数据点数量有限，一个简单的元分类器效果最好。

总而言之，作者发现量子分类器可以检测到经典分类器难以处理的模式，而混合的量子-经典组合可以改善最终模型。这些结果是在模拟的量子计算机上获得的，未来的工作将探索真正的硬件实现。在进入量子部分之前，对数据进行预处理是至关重要的。

欺诈性交易可以被认为是异常事件，因为预计非欺诈性或真实的交易总是更占优势。也有工作重点是通过异常检测来检测欺诈的量子方法。异常检测是一种无监督的方法，因为它不需要预先定义交易是欺诈还是非欺诈的标签。

该方法涉及使用IQP或瞬时量子多项式作为特征图。这个特征图将原始数据映射成高维数据。此外，还使用了一个量子核方法或QSVM。虽然SVM或QSVM通常被认为是监督学习方法，但本文提到的方法是经典单类SVM的量子类似物，它是一种流行的异常检测的经典方法。这里的想法是，在内核矩阵中使用的结果量子态的内积将充分显示不同类别的数据点与同一类别的数据点的更多距离。

在用IQP嵌入数据之前，对于特征的丰富/增强或特征工程，作者为所有的特征尝试了一些缩放策略，但这并没有带来任何性能的提高。

为了定义和模拟量子电路，作者使用了Pennylane Python库，其JAX接口允许用XLA编译电路（加速线性代数或XLA是一个使用JIT编译技术的编译器，目的是加速广泛的ML工作负载）。这导致了在CPU和GPU资源上的快速、平行化操作。此外，他们还实现了分批的Gram矩阵评估，在不同的数值上精简了内核评估。

在少量的特征中，作者观察到五到十个特征的平均精度增加到0.9。他们注意到，当他们尝试超过10个特征时，经典内核模型的性能就会恶化，而量子内核模型的性能却没有，甚至在17个特征/比特左右达到新高；在N=20时，他们看到量子和经典（RBF）内核之间的性能明显分离。这表明，量子核避免了过度拟合。这是一个积极的信号，显示了在经典数据集上执行的某些任务的表达能力/学习优势。

还有作者提出了一种新的技术来进行分类，特别是将欺诈检测作为一个现实世界的应用，利用单个量子比特。这种方法在当前的NISQ时代特别有优势，因为具有大量量子比特的量子硬件还没有广泛使用，而具有较多量子比特的系统也容易受到噪声和错误的影响。

此外，在这篇论文中显示，基于单量子比特电路的量子神经网络可以通过将其信息存储在一系列量子门的自由度中来近似任何有界复杂函数。

在单量子比特QNN分类的情况下，特征图和解析都被参数化为任意的单量子比特旋转。编码单量子比特旋转的数据和参数化旋转的每个组合可以被视为类似于经典神经网络架构中的一个层。

鉴于每层由两个单元组成，一个有N层的电路的总深度将是2N。根据UAT，层数越多、电路中的表示能力就越多；然而，电路中的层数越多、运行的时间就越长。由于目前量子处理单元的相干时间有限，这可能对结果的质量产生负面影响。因此，也有作者提出了以下形式的单元（以下公式中的符号o表示哈达玛积）。

上面的问题是，它导致了更高深度的计算复杂性。因此，有科学家提出了下面这个被称为基本UAT（单量子比特通用近似）的门。

一旦为目标变分量子电路定义了特征图和解析，就可以按照典型的混合程序进行训练。输入数据以一组初始的任意参数值被加载到网络中；门被应用，并在最后进行测量操作。这个测量的结果被送入一个特定的成本函数，用来指导经典的优化器寻找下一组参数。这个过程是反复进行的，直到优化器达到最小成本。

量子测量策略被纳入其中，以找到将量子观测的输出与目标类相联系的最佳方式。一个标准的方法是使用阈值（s）将测量的输出映射到目标类别。例如，对于二进制分类，P(0)小于或等于阈值意味着数据可以被映射到0类，否则将被映射到1类。

使用基于保真度的损失函数，使用的经典优化器是LBFGS：

其中μ表示数据点，|ψ⟩是正确的标签状态。

作者在玩具数据（圆圈数据）和真实世界信用卡数据上都尝试了这些方法。与压缩单元和UAT相比，分别使用数据编码单元和参数化单元的原始方法在训练和测试数据上都有更好的准确性。

为了促进UAT的训练过程，初始数据加载层可能会有帮助。一个初步的假设是，使用哈达玛门的数据准备步骤将有助于利用叠加的状态来促进参数搜索。按照这个思路，用一个通用的参数化的单元门来执行数据准备状态可能会更有好处，其参数是与解析的参数共同优化的。

作者还试验了不同的层数。使用4层的UAT，结合初始加载一个任意的单元旋转，在训练和测试精度上都得到了最理想的结果。

他们还对UAT的结果进行了比较，包括是否使用参数化的单元门进行初始数据加载。有初始加载，测试精度比没有初始加载的测试精度高2%；在没有初始加载的情况下，火车的准确度也高出2%。这表明，初始加载也可以打击潜在的过拟合。

对于真实世界的数据，作者还进行了PCA降维和数据抽样，总的基准测试结果显示，2层UAT与初始加载一起给出的结果比2层的最佳经典方法更好。

虽然这些发现是令人鼓舞的，但它们不应该被看作是确定性的证据。在这种情况下，经典的机器学习保持其主导地位，因为它可以在深度神经网络的框架内处理大量的数据集。尽管如此，如果单个量子比特能够有效地学习数据和相应标签之间的相关联系，即将推出的包含多个量子比特的结构可以完善某些量子特性（如纠缠），这可能会带来潜在的优势。

蒙特卡罗方法在金融领域的应用始于2018年Rebentrost等人的开创性论文。在论文中，他们应用了早期关于使用量子方法来加速蒙特卡罗模拟的理论工作。在下面两个小节中，我们将涵盖金融学中使用蒙特卡罗方法的主要领域：衍生品定价和风险计算，并集中在量子计算的细节上。

量子计算在金融领域解决模拟基础问题的应用在金融学经典问题衍生品定价中，被认为是：

这里，r是无风险利率，T是合约的运行时间，EP是无风险措施P下的期望值，f(ST)是衍生品在时间T的报酬函数，取决于相应的标的物。

然而，当衍生品的报酬变得更加复杂时，通常就不再是这样了：人们转而使用蒙特卡罗模拟来计算价格Π。当报酬f(ST)具有有界的方差λ2时，恒定的成功概率要求：

样本来估计预期值，误差不超过ϵ。

使用欧洲看涨期权的现有精确结果表明，量子增强的蒙特卡罗方法可以导致指数级的速度提升。使用量子算法进行蒙特卡罗模拟的想法可以描述如下：

蒙特卡罗算法的全量子电路，H是Hadamard门，F表示m量子比特上的反量子傅里叶变换。

衍生品定价方法从应用的角度来看是非常有趣的，因为与经典的蒙特卡罗相比，它提供了四次方的速度。然而，它在现实的设置中的实施超出了今天和未来的量子硬件的能力。无论是量子比特的数量还是电路的长度，在短期内都不可能实现。因此，科学家们一直在寻找修改方案：即寻找同时使用量子振幅放大和量子相位估计的替代品。

有人提出了一种“无相位估计的振幅放大”方法。它建议只应用一次Qk，然后进行直接测量，而不是应用所有受控的Qk，然后再进行反傅里叶变换。在k值不同的情况下，这样做几次，就能得到所需目标参数的似然函数。然后，这个似然函数可以被最大化。

沿着这一思路，有人提出了对Grover算子的修改，证明在物理设备上存在的噪声的情况下，这种修改是优越的。

在上述基础上，发展了所谓的（自适应）变量量子振幅估计。在变分法的帮助下，通常的振幅估计算法的电路深度被降低。最大似然法被应用于后处理，并证明经典的蒙特卡罗算法比它更优秀。

另一种规避上述昂贵电路的方法是迭代QAE（IQAE），并声称它取得了比同类算法更好的结果。他们的想法是迭代地找到Grover算子Qk的最佳功率。明确提供了实现这一目标的算法，并显示了数值结果。此外，该方法与上面讨论的最大似然法进行了比较。然而，这种方法的一个缺点是，计算不能并行进行。

还有人提出了一种没有量子傅里叶变换的蒙特卡罗算法，但有广泛的后置选择。这里，使用了资产价值的单数编码。导致了电路深度的减少，然而，与通常的方法相比，需要更多的量子比特。据介绍，这种方法在NISQ时代可能是有利的。

虽然在大多数出版物中考虑的是普通欧式期权的定价，但也有人将该框架扩展到具有局部波动率模型的期权定价，即标的资产的波动率取决于价格和时间。该方案使用振幅编码，衍生品报酬的概率分布被编码为概率振幅。

此外，在第二种方法中，伪随机数序列被用来模拟资产价格的演变，如同经典的蒙特卡罗模拟。使用伪随机数的想法是说，如果在蒙特卡罗计算中使用的积分有一个关于不同随机数贡献的可分离形式，那么嵌套量子振幅估计和使用伪随机数的组合可以加快计算速度。

当然，量子蒙特卡罗的框架也被应用于不同类型的期权定价：普通期权、多资产期权和路径依赖型期权，如障碍期权。 

另一个更复杂的金融衍生品什么对于可以在特定日期执行的百慕大期权的定价，有必要对报酬率进行更彻底的建模。

所有量子蒙特卡罗方法的一个关键点是将概率分布加载到量子态中。如果这一点做得不够仔细，计算上的优势就会被破坏。因此，有人提出了一种简化状态准备的方法。与电路优化技术一起，它可以帮助大大降低QAE状态准备的电路复杂性。

量子蒙特卡罗方法在金融业风险计算中的应用始于Woerner和Egger的论文《量子风险分析》。他们使用完整的算法，即包括量子傅里叶变换在内的量子振幅估计来计算固定利率国债的风险价值。

这项工作对信用风险的直接扩展在后续研究中提出。文中所考虑的条件独立高斯模型非常简单，但它允许直接实现量子算法。

还有文章中展示了一个信用组合风险计算。它表明，如果计算的方式与经典计算类似，就有可能在保持量子速度的同时减少量子比特的数量：估计由量子电路上实现的伪随机数发生器（PRNG）采样的积分值的平均值。然而，量子比特的减少是对电路深度增加的一种折衷。

也有研究中描述了一种方法，为每个投资组合的资产的违约概率实现了一个更现实和复杂的风险模型，能够考虑到多种系统性风险因素。此外，取消了违约损失只能取整数的限制。该方法已经实现，并提出了相应的门结构。

还有学者讨论了一个非常重要的问题，即在金融领域的潜在应用：  如何在一个量子增强的信用风险模型中计算风险贡献。他们从理论上阐述了必要的电路结构，并得出了与经典方法相比的速度提升。

在本节的最后，作者展示了通过量子蒙特卡罗计算市场和信用风险的不同方法。

投资组合优化和量子计算应用的研究正在加快步伐，许多银行和量子计算公司对改善该领域的研究产生了极大的兴趣，因为它有望带来巨大的经济效益。  

目前的研究重点是寻找更适合NISQ时代的算法，这些算法可以有效地处理局部最小值问题和扩展问题，能够处理组合、凸或非凸性质的问题，这些问题主要是由于投资者所面临的约束类型而引起的。

同时，能够处理许多约束条件的算法更适合面对现实生活中的问题。

虽然量子计算在优化问题或机器学习领域的应用已经可以在NISQ时代带来优势，但对于蒙特卡罗方法来说，情况可能不会是这样。 这里使用的算法通常需要许多量子比特和深层电路；然而，也有许多想法和尝试来公平地限制这些要求。

将量子算法用于衍生品估值对于大型机构和活跃在投资银行领域的机构来说将特别重要，因为它们是更复杂的衍生品的提供者。用量子算法使风险计算更快，其影响范围可能更广，因为它影响到所有银行。在这方面，可以假设未来几年将在这一领域开始更密集的研究活动。

关于量子应用于欺诈检测，可以看到，量子计算有可能通过对大型数据集进行更快、更有效的分析而彻底改变欺诈检测领域。虽然量子计算仍处于起步阶段，一些挑战需要解决（如开发可靠的量子硬件和算法），但未来量子计算在欺诈检测中的应用前景看好。随着这一领域的更多研究和开发，量子计算将可能在预防和检测各种行业的欺诈中发挥越来越重要的作用。

最后，原文作者表示，“我们通过回顾该领域的最新研究，涵盖了量子计算视角下最突出的金融应用，并为从事近未来量子技术相关领域工作的好奇心强的研究者提供了一个良好的最新调查。这也可以帮助金融技术应用开发商、银行和所有其他金融机构在该领域推出新的项目开发思路。”

https://arxiv.org/abs/2307.01155