世界地图为什么只有 4 种颜色?

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在一张世界地图上,要给相邻国家涂上不同的颜色,至少需要多少种颜色呢?
答案是四种颜色。
这就是数学界非常有名的四色定理,这个最初源于给地图上国家上色的有趣问题被誉为世界近代三大数学问题之一。数学家用了 100 多年的时间才给出了真正的证明,所用的计算机证明也登上了数学舞台。
如今,在图论领域,还有许多由四色定理衍生出来的有趣问题。例如,一个起源于收音机广播电台的问题:在一个无限大的网格纸上填入数字,同一个数字之间的“距离”必须大于这个数字本身,那么最少需要多少个数字能覆盖整个平面?
年幼的你会对着书房墙面上的世界地图发呆吗?凝视着那五颜六色的图案,畅想着自己将来有一天能够环游世界。而在 19 世纪的英国,一个古老且经典的数学问题——着色问题,就诞生于这样一份凝视。
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应用四色定理填色的世界地图,图片来源:自然资源部标准地图服务系统
四色问题的起源
故事开始于 1852 年,英国地图制图师弗朗西斯·古特里(Francis Guthrie)在观察地图时提出了一个“给地图着色”的问题。他发现只需要四种颜色就可以对地图进行着色,使得相邻的国家颜色不同。但令他不解的是,这个数字“4”是否是最优的呢?于是他向他的弟弟弗雷德里克·古特里(Frederick Guthrie)及其朋友们寻求帮助。
在交流中,他们逐渐认识到这个问题与数学有着深刻的联系。于是弗雷德里克向他的老师——伦敦大学学院的数学家奥古斯塔斯·德摩根(Augustus De Morgan)寻求帮助。德摩根教授尝试之后也无能为力,于是写信将这个问题转交给了他的好友爱尔兰数学家威廉·哈密顿(William Hamilton)教授。遗憾的是,充满智慧的哈密顿对这个问题并没有太大的兴趣。
摩尔根在信中写道:“一位学生今天让我说明一个事实,我们不知道它是否可作为一个事实。他说将平面上的一个图形,任意划分成有限个部分并对其每个部分染色,使得相邻部分具有不同的颜色,而且只能用四种颜色。你以为如何?如果这个问题成立,它能引起人们关注吗?”
起初,这个“听起来简单易懂的”问题并没有引起数学家们的广泛关注。直到 1878 年,英国数学家阿瑟·凯莱(Arthur Cayley)在伦敦数学会上正式宣布并命名这一问题为“四色问题”,这才激发了大家的求解欲望。在当时,数学家们普遍认为四色问题不会太难,应该很快就能解决。然而,事与愿违,从“四色猜想”到“四色定理”,经历了漫长的 120 多年,甚至一度与“费尔马大定理”“哥德巴赫猜想”同称世界上最著名的三大数学难题 。
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数学家凯莱,图片来源:Smithsonian Institution Librarie
四色定理的百年证明
四色问题的通俗叙述中有很多无效信息,例如每个国家的形状、面积、经纬度等等。唯一重要的信息便是——相邻(即两个区域共享同一段边界)。忽略掉这些无效信息,我们来看看如何用抽象的图论(Graph Theory)语言来严格定义这个问题。
给定一个图(graph)G= (V, E),其中非空集合 V 是顶点(vertex)集,E 是边(edge)集。这里其实要用到对偶图的概念,也就是说,用一个顶点ν∈V来表示地图上的一个国家;用一条边 e12=(ν1, ν2)∈E 来表示两个顶点(国家)ν1, ν2 是相邻的。下面我们只考虑简单无向图——图的边是无向的,即 e12=e21;没有重复边,即连接顶点 ν1, ν2 的边最多只有一条;没有自环,即不存在只连接一个顶点的边。
于是四色问题便抽象成了一个猜想:对一个简单无向图 G=(V, E) 的顶点进行着色,使相邻的点颜色不同,那么最少只需要 4 种颜色。这里最少所需的颜色数我们称之为——色数(chromatic number)。
起初人们只能通过手工计算,得出对于一个包含了 96 个国家的地图,四色猜想成立。故事的转折点发生在 1879 年,一位英国律师阿福瑞德·肯普(Alfred Kempe)为四色猜想的证明提供了重要的思路。肯普提出,任何一个简单无向图 G=(V, E) 中至少有一个顶点具有 2、3、4 或 5 个相邻顶点(一个国家至少有 2、3、4 或 5 个邻国)。这个命题其实是欧拉公式的应用。假设图 G=(V, E) 中有 ν 个顶点、e 个边和 f 个面。首先任何一个面至少有三条边,两个相邻的面共用一条边,每条边上有 2 个顶点,因此 2e=3f。如果每个顶点都有至少 6 条边,那么 2e≥6ν。但欧拉公式告诉我们,ν-e+f=2。这就推出了一个矛盾。
肯普将上述最多具有 5 个相邻点的顶点及其相应的边命名为“不可避免的构型”。接下来他利用归纳法,移除掉这个顶点以及相邻的边,得到一个子图 G'。如果这个子图 G' 满足四色猜想,那么称原图 G' 是可约的,同时将移除掉的顶点及其边称为“可约构型”。
肯普认为,只要能证明所有不可避免的构型都是可约构型(也就是说移除掉对应的顶点及其边后可以四色),那么四色猜想必然成立。用数学的语言讲,假设包含 n 个顶点的图满足四色猜想,那么对于 n+1 个顶点的图,必有一个顶点及其边是不可避免构型。如果相邻点是三色的,那么给移除掉的点涂上第四种颜色,结论自然成立;否则,需要对原图重新涂色,争取释放这个顶点,使它的相邻点可以三色,为此肯普设计了“肯普链”的方法。
然而,在肯普的结果公布 11 年后,人们发现了其中有一个致命的、无法修复的错误。但肯普的思路依然为后世提供了重要的突破口,人们延续他的方法陆续证明了 22 国、39 国、52 国以下的地图可以四色。
直到 1976 年,美国数学家肯尼斯·阿佩尔(Kenneth Appel)与沃尔夫格·哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺大学的两台计算机上,耗时 1200 个小时,终于完成了四色定理的证明。他们延续并改进了肯普的方法,将所有的 1936 个不可避免构型完全罗列出来,并依次对其验证了可约性。
这项工作轰动了世界,不仅仅是因为他们证明一个数学难题,更重要的是这告诉人们计算机也能用于数学的逻辑证明。在两位数学家将研究成果公之于世的当天,当地邮局为了庆祝,在所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳。
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数学家哈肯(Wolfgang Haken,1928-2022)和阿佩尔(Kenneth Appel,1938-2013),图片来源:legacy.com/mathyear2013.blogspot.com
事实上,阿佩尔与哈肯并不是最早意识到要用计算机辅助解决四色猜想的人。早在 1950 年,德国数学家亨利·希许(Heinrich Heesch)就曾预测,只有借助于能处理巨量数据的强大计算装置才能对四色猜想中的有限但是数量巨大的不同构型进行检验。在计算机技术还未蓬勃兴起的年代,希许的思想十分超前。他是第一个提倡并试图利用计算机来攻克四色问题的数学家,同时他也慷慨地将自己的许多想法与哈肯交流,可以说他对四色猜想的证明起到了极大的推动作用。
尽管阿佩尔与哈肯的研究成果轰动一时,但在当时并没有得到广泛的认可。人们的质疑主要源于对于计算机证明数学问题的不认可。怀疑者们认为阿佩尔与哈肯的方法本质上是一种穷举检验法,他们只是用机器检验了千万种情况,他们的证明细节隐藏在计算机内,人力是无法进行复核的。数学界呼吁给出一份纯粹明了的数学证明。30 年后来自英国剑桥大学的年轻数学家乔治·贡帝埃(Georges Gonthier)给出四色定理的完全计算机化证明,和阿佩尔、哈肯不同的是,他的每一步逻辑证明都由计算机独立完成。经过多年的计算机革命,人们逐渐认可了计算机对于数学工作的帮助,也终于愿意承认——四色定理成立
广播色数问题:四色问题的推广
数学家们在研究四色猜想的过程中,对其他相关的染色问题也进行了思考。例如最著名的 Hadwiger-Nelson 问题:在一张无限大的平面上进行点染色,使得相邻的点颜色不同。我们今天介绍的是四色问题的另一种变形:Packing染色(Packing coloring)问题,也叫广播染色(Broadcast coloring)问题。这个问题最早是由克莱姆森大学(Clemson University)教授维恩·戈达德(Wayne Goddard)等人提出的,它其实来源于一个非常实际的问题——广播电台的频率分配
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收音机,图源:网络
每个广播电台所发出信号的覆盖面积都是有限的,信号越强的电台它的覆盖范围也越广。收音机的调频(FM)波段很窄,我国的民用收音机调频范围为 FM87.5-108MHz。如果我国每个省市的广播电台都发出不同频率的信号,显然是不切实际的。而两个同频率的电台只有在相距足够远的情况下,它们的信号才不会互相干扰。例如,天津相声广播、沈阳都市广播、泰州交通音乐广播的FM频率均为 92.1MHz;而与天津比邻的北京,为了避免相同信号的叠加干扰,其广播电台频率表中并没有分配 92.1 MHz 的信号波段。
那么如何对不同地区广播电台的频率进行分配,使得我们可以在避免干扰的前提下,用最短的信号波段区间来覆盖全国的广播系统呢?数学家们又是如何用数学的语言来定义这件事呢?
与四色定理类似,给定一个简单无向图 G=(V, E),我们用一个整数集合 K= 来表示颜色集,用 d(u, ν)来定义两个顶点u, ν之间的距离。考虑映射 f:V→,它满足对任意两个顶点 u, ν∈V,以及任意的整数 c∈K,如果 f(u)=f(ν)=c(即顶点 u 和 ν 的颜色相同),那么 u, ν 之间的距离 d(u, ν)>c(也就是说具有相同颜色的两个顶点距离足够远;考虑上文的实际背景,这意味着信号频率相同的广播电台距离足够远)。这样的映射 f 就构成了一个 packing k- 染色方案,能满足 packing 染色方案的最小整数就称为图的 packing 染色数(packing coloring number)χρ(G)。
packing 染色问题其实是在地图着色问题上加了更强的限制。当 K= 时,packing 1- 染色问题就是最原始的地图着色问题,即要求相邻两个顶点颜色不同。我们先来看一个简单的例子,考虑下图中的一维整数轴,取图 G=Z= 为整数集,每个整数代表一个顶点,两个相邻的整数记为两个相邻的顶点,两个整数之间的距离定义为他们差值的绝对值。构造映射如下:
因此 d(-2, 2)=4>3=f(-2)=f(2)。那么此时 χρ(Z)=3。
一维 Packing 3- 染色,图片来源:参考文献[8]
上面的例子仅仅考虑了一维情形,如果我们考虑二维平面整数集 Z2 的染色问题呢?可以想象,对于一个无限大的平面,我们可以把平面划分成一个个网格(就像一个无限大的棋盘一样),定义两个网格之间的距离为它们之间的水平距离加上垂直距离,那么如何对它们进行 packing 染色?
2008 年,戈达德和他的四位合作者首先公开了他们对于这个问题的思考,他们完全用人力计算,得出 9 ≤χρ(Z2)≤ 23;此后又有几位数学家利用计算机辅助证明,逐步将结果优化为 13 ≤χρ(Z2)≤ 15。
2022 年,来自卡耐基梅隆大学的研究生苏威卡塞乌斯(Bernardo Subercaseaux)和教授马金·海勒(Marijn J. H. Heule)两人将这个结果进一步优化为 14 ≤χρ(Z2)≤ 15。2023 年 1 月,他们宣布彻底解决了平面整数集 Z2 的 packing 染色问题——他们在文章中证明 χρ(Z2)= 15,即只用 1-15 这 15 个数字就能填充整个平面网格,并保证两个具有相同数字的网格之间的距离大于这个数字。下面我们就来简单介绍一下他们的思路和方法。
显然,对一个无限网格用穷举法是不现实也不必要的。所以,数学家想到对其中的一小部分进行验证,比如取一个 10×10 的网格,后将其复制拼接,如果依然能够满足对距离的要求,即可得证。
苏威卡塞乌斯和海勒首先从这个角度对图进行了简化,但他们并不是考虑简单的矩形,而是从一个类似于菱形的有限子图 Dr(ν)= 出发,用 Dr, k 表示对子图 Dr[(0, 0)] 进行 k-packing 染色,Dr, k, c 表示对子图 Dr[(0, 0)] 进行 k-packing 染色而且中心点 (0, 0) 赋予颜色 c。如果对于子图 Dr(ν) 可以进行 k-packing 染色,那么一定有 χρ(Z2)≥k;反之 χρ(Z2)≥k+1。不难想象,在 Dr(ν) 这样的有限图中,数字越小出现的次数也就越多;所以在染色过程中可以优先考虑更大的数字的存放位置。比如当 r≤k 时,子图 Dr, k, r 中数字 r 只会在中心点 (0, 0) 出现一次,否则就会破坏我们对于距离的要求。这也是 Dr(ν) 相较于矩形子图的优势。Dr(ν) 其实是一个正四边形,具有很好的对称性,因此苏威卡塞乌斯和海勒把 Dr(ν) 进行八等分(见图 7),在染色时依次把较大的数字放在 1/8 角域里进行排列,这样就避免了对染色方案的重复验证。图 8 的 D3, 7, 3 就是一个很直观的例子。
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对Dr(ν) 八等分,图片来源:参考文献[8]
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D3, 7, 3 染色,图片来源:参考文献[8]
苏威卡塞乌斯和海勒所做的第二个简化是不再单纯地以格点为一个染色单位。他们在 Dr(ν) 中选取五个相邻的格点,构成一个加号型区域,以这样的加号型区域为一个单位进行染色。也就是说,可以只考虑把某个数字填入这个加号型区域,但暂时不考虑具体放在这个加号型区域的哪个格点。在排列好加号型区域的染色方案后,再对每个格点进行染色。
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加号型区域,图片来源:参考文献[8]
正如同行所评价的:苏威卡塞乌斯和海勒不只是在解决问题,他们更是在优化组合学的研究思路。在不懈地努力下,历时四个月,他们最终攻克了平面 packing 染色问题。
尾声
四色定理困扰了数学界一个多世纪,时至今日也没有找到真正纯粹的数学证明。但四色问题的意义已远超这个问题本身,更重要的是在一代代数学家们前赴后继思考的过程中,所衍生出来的对于其他学科分支的思考,例如图论、拓扑、计算机科学等。人们愿意研究四色问题,并不是为了真的用四种颜色填补地图,而是为了探讨“4”这个数字所体现出来的拓扑性质和数学内涵。
作为第一个由计算机辅助证明的数学定理,四色定理由最初的饱受质疑到广泛认可,这注定了它在数学史上的非凡地位。在人工智能飞速发展的今天,AI辅助数学证明成为了大多数学者关注的对象。尽管依然有人认为AI的形式化证明会破坏数学原始的美感,但不可否认的是先进的技术手段确实大幅度地简化了数学家的工作。或许我们应该质疑的并不是计算机本身,而是学者们使用计算机的态度和方法。
欧几里得在《几何原本》中将公元前 300 年的数学以一种近乎完美的语言定义了出来,呈现给后世一套直观严谨的几个系统。当时光来到 21 世纪,人们用精确的符号和机械的规则将数学翻译为计算机代码,这又何尝不是一次数学文化的传承和迭代呢?
参考文献
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[7] Subercaseaux, B., Heule, M.J.H.: The Packing Chromatic Number of the Infinite Square Grid Is at Least 14. In: Meel, K.S., Strichman, O. (eds.) 25th International Conference on Theory and Applications of Satisfiability Testing (SAT 2022). Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), vol. 236, pp. 21:1–21:16. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum fur Infor- ¨ matik, Dagstuhl, Germany (2022)
[8] Subercaseaux, B., Heule, M.J.H The Packing Chromatic Number of the Infinite Square Grid is 15. arXiv:2301.09757