花友@老和尚和小和尚作为一个学了20多年数学的“北清复交”工科男，一位曾经的中学奥数、奥物、奥化队员，前几年在小花生分享了文章：女儿是老师眼里的“数学差生”，这位在奥数大赛上获过奖的爸爸却毫不担心，表示他并不会给女儿报奥数培训班，光说不练假把式，今天他又带来了满满干货，详细讲解了他是怎么在家给女儿辅导数学的…

本文由小花生网友@老和尚和小和尚发布于小花生写作计划

上个月写的一篇关于数学的文章，引起了很多爸爸妈妈的关注，这着实出乎我的意料。我收到了大量的评论和问题，所以我想应该继续把一些观点和心得写下来，回答大家的一些疑问，对某些观点也可以进一步阐明我的想法。

在开聊之前，有一点需要事先声明一下，我并没有在国际奥数大赛上获奖，我只获得过奥林匹克物理竞赛的奖项，当然当年一直是中学奥数，奥物和奥化竞赛班的学生。

什么是数学的美？

伽利略说“数学是上帝用来书写宇宙的文字”，所以数学是非常优美的。所谓数学的美就是两个字“简单”，越简单越美。这里数学的美有两层含义，

一层是很多数学问题的结论、定理是非常简单但是却意义很深的。例如勾股定理，简单的一个公式就揭示出一个普遍规律；

另外一层含义则是数学问题的证明或者解答过程是否简洁。优美的证明过程可以用一个缜密而简单的过程解释一个具有普遍意义的思想方法。例如方程概念的引入使得数学应用的一些建模问题抽象为简单的解一个等式。

一个小学生一旦学会了用方程的概念来看应用题，会发现很多应用题的解答变的非常容易理解。又例如极限概念的引入和运用到对变量的分析中，自然就推演出微分和积分的方法，从而使的我们研究变量的关系变的容易的多。

所以我们常常会发现一些数学问题虽然已经被解决了，但是数学家还是会继续研究是否有更加漂亮的解法，目的就是为了追求数学的美，为了追求更加普遍的意义。所以学习数学就是追求真理之美的过程。这个问题的清楚认识对于我们为什么学数学，培养数学兴趣，怎么学好数学有很大的意义。

为什么数学学习要强调一道题目多种解法？

一道题目多种解法（一题多解）是学好数学的一个非常好的方法。因为数学的学习的一个关键是学习过程和思路，答案是不重要的。但是数学问题的解决思路和过程绝对不是唯一的，相反是多种多样的。

从数学家的角度来看，不同的方法往往意味着不同的理论。而从学生的角度来看，不同的方法意味着思路的拓展和兴趣的培养。这种方法看似费时费力，但是对于提高学生的数学能力是非常关键的，长期训练效果显著。

我们现在的数学教育喜欢谈标准答案，其实真正的数学根本没有标准答案，只关心你是如何到达那个结果的。通过一题多解，孩子很容易进行不同方法的比较，从而找到最简单的方法（也就是最美的解法），或者最具有普遍性的解法，或者最容易理解的方法。

鼓励孩子用不同的方法解题，他们对问题的理解和数学工具的运用就会越具有创造性和灵活性。例如就拿之前的那道奥数题来说，我的严格证明就运用了另外的算法，整体思路也是减少变量的数目，但是我通过研究中间的三个圆的和，从而确定中间几个位置的数量关系来解题的，好处是运用数量分析证明严密，缺点是复杂不漂亮。我相信应该还有更加严密且优美的解法，有兴趣的朋友可以继续尝试。

说句题外话，真正的国际奥林匹克数学竞赛是没有标准答案的，每个参赛队的方法都可能是不同的，最后的评分是由领队来讨论的。

为什么启发式的教与学对于初学数学的人是个好方法？

数学能力不是天生就强的，是需要长期慢慢的培养的。刚刚学习数学的孩子，语言能力有限，阅读能力不强，逻辑思维还处于低级水平。让他们一下就接触复杂的逻辑推理是不可能理解的，容易产生畏难情绪。另一方面强行灌输所谓标准答案更加不可取，孩子的学习积极性完全被抹杀，通过记忆和背诵来学习数学无异于思维自杀。

家长和老师应该启发孩子自己动脑筋，想办法，鼓励他们一步一步的从简单问题推导到复杂问题，甚至于是没有学过的问题。下面的对话是我和刚上小学一年级的女儿的几次数学辅导中摘录的，希望对别的爸爸妈妈有一些启发。当然每个孩子情况不同，启发的方式也是因人而异的。

父：你们这几天好像学习了进位加法，能给我你的速算卷子吗？
女：好的，可是我算的很慢，后面都没有来得及做（哭脸一张）
父：没有关系，爸爸小时候也算的很慢，读大学时还要数手指头呢。别担心，爸爸教你。
女：（拿出卷子，5分钟60道20以内加法题目，1/3题目没有来得及做，老师眼中典型的数学差生）
父：做的不错嘛，前面都对的，就是后面来不及做了，没有关系。现在来做一下后面的吧，7+8=？你能告诉我一下你是怎么做的吗？
女：等于15，把8分成3和5，然后。。。。（憋了半天无响应）
父：然后7和3怎么样？
女：7和3加起来等于10，再和5加起来等于15。（终于想起来了）
父：很好，你以后就要这样完整的告诉我你是怎么想的，然后再告诉我答案。我问你为什么8要分成3和5啊？为什么不能分成4和4啊？
女：因为3和7加起来等于10。
父：那为什么要有一个10呢？
女：。。。。。（长时间的沉默）
父：想想看10加几等于几啊？
女：10加几就是10几。
父：简单吗？是不是10加几是不用计算的,一看就知道了？
女：是的，所以10+5=15。很简单。
父：如果8拆成了4和4，会这么简单吗？
女：不会，7+4=?不知道是什么。（很开心的样子）
父：所以进位加法关键要凑一个10，我们再做一道9+9=？
女：9可以分成8和1，1和9加起来等于10，10加8等于18。（开始得意忘形），那16+6等于多少啊？（信心开始膨胀，准备挑战她老爸了）
父：你自己算算看呢？
女：老师没有教过，我不会做。
父：没有关系，你试试看，做错了爸爸不怪你。
女：23
父：错了，不过只差一点点。
女：22
父：你太厉害了，告诉我你是怎么做的。
女：16可以分成10和6， 6+6等于12，12加10等于22。
父：你的数学真厉害，20以上的加法也会了。为什么12+10=22？
女：12可以分成10和2，10加10等于20， 20再加2等于22。
父：是不是进位加法都是一样的？很简单吧。
女：是的，要凑10，10加几就等于10几很简单。（以下省略一千字.。。。）

为什么说数学最重要的是逻辑推理和空间想象能力而不是计算能力？

首先计算能力是数学能力的一部分，但是只是无关紧要的次要部分。尽管数学发展史上计算是一个重要的方向，但是那是在电子计算机发明之前的故事。古代人类有大量生活和工程计算的需要，因此围绕计算领域出现了很多重要的方法和成果，例如圆周率的计算，对数和指数的发明和应用。

但是自从电脑发明之后，计算数学早就开始转移到算法的研究上了。其次，更多的数学问题其实和计算几乎毫无关系，例如排列组合，概率论，几何学。这些学科用到的计算最多就是加减乘除四则运算，但是对于逻辑推理和空间想象能力要求极高。

我是从事软件研究工作的，算法是天天打交道的，可以说现代的算法和数字计算能力几乎没有什么关系，反而是多样性的思维，缜密的逻辑推理，和空间想象能力对于算法创新和理解意义重大。还是回到上面那道奥数题，计算水平只有20以内的加减法，现在一些幼儿园的“牛娃“算的都比我快，可是有人觉得他们能够做这道题目吗？

因此逻辑思维和空间想象能力才是从小需要认真培养的。这两种能力有先天的因素，但更重要的是后天的培养。逻辑思维和空间想象能力不仅仅只依靠数学培养，语文，音乐，绘画无一不是在培养这些能力。一个人从小就应该从各种学科学习开始，系统性的逐步构建起逻辑思维。这对数学学习至关重要。而其中语文的重要性是不言而喻的，因为它是所有学科之母，很难想象一个连阅读理解都有问题的人，怎么能找到问题，分析问题，回答问题。

落实到具体的内容，我自己的经验是，培养逻辑和空间想象力最好要让孩子多观察，多动手，多表达。具体做起来就是从学龄前儿童要多搭积木，变着花样的玩积木（看图搭积木，没有图自己搭积木），要看图讲故事（故事要尽量完整），多带孩子接触大自然，不要打断他们的观察，不要打断他们的说话。让孩子尽量在玩耍中接触外部世界。

所以到了小学阶段，还是要强调在玩中学，在生活中学。各种棋牌类游戏，乐高玩具，3D Puzzle，各种机械模型的拆和装，自己编故事讲故事，鼓励孩子自己提问题并引导他们自己去分析和解决问题（这一点尤其重要，问题是最好的开始），等等都是培养逻辑和空间能力的好方法。

中学阶段以后，要教授和引导孩子自己完整的提问题，分析复杂问题，查找和比较不同的解决方案。总之不要老想着大量刷数学题，搞数字启蒙就能培养什么逻辑思维能力。相反应该把孩子眼睛，脑袋和手都调动起来，从形象思维入手解决抽象思维的问题，而不是因为数学抽象所以就要抽象的学，那是永远都学不好的。

坦白的说，数学能力的培养是一个长期和缓慢的过程，这是由人的生理特性决定的，抽象思维能力要上了初中以后才能逐步成熟起来，严格意义上的数学是要晚学而非早学的。所以在中学之前我们要做的是逐步的为严格的数学学习做逻辑思维的准备，而不是早早的让孩子学超过他们能力范围的知识。那种以为学的多，学的深就是学的好的思想是害人不浅的。现在流行的育儿“抢跑”方式，在真正的数学学习中是毫无用处的。

我孩子数学课上都听的懂，可是题目样子一变就不会做了，这是什么原因？

免不了还是要回答几个应试的问题。其实这是孩子上课就没有听懂。什么是数学真正听懂了，理解了？就是无论题目变成生么样，我都知道你老师想考我什么。一个简单的方法（这个方法我读书时自己经常用），就是同样的题目、定理或者结论变换着问题问自己，看看自己是否都能回答。

例如我女儿说她会7+8=15，其实不能算真懂加法了，我还问她那8+7=？8加一个不知道的数字等于15，那个不知道的数字是几？你有8块钱，爸爸给你7块钱，你总共有几块钱？现在你给营业员15块钱，一支笔要7块钱，营业员要找给你多少钱？等等。

最重要的是孩子要讲出来这里面的关键思路或者核心思想是什么，当然家长要引导，尤其对于比较小的孩子。一旦孩子自己能发现那个关键点，这就说明他/她真懂了。永远记住思考过程比答案重要的多。

我孩子现在数学成绩不好，该怎么办？

这个问题太宽泛，不大好回答。因为具体人和事情要具体分析，不能一概而论。我拿我自己的一个例子来说明，看看能否有启发。我在读大学和研究生时分别给准备小升初考试，中考和高考的三个孩子补习过最后一个学期的数学。当时那个小学生是数学“学霸”，而另外一个初中生和一个高中生都是数学“学渣”。

由于时间有限，我把他们所有近一个学期的数学测验和考卷全部拿出来，把做错的题目全部过一变。我和孩子们一起分析后发现，那个“学霸”小学生数学很不错，就是很粗心，所以我就强迫让他在计算时打个草稿，不许检查，不许做的太快，必须一次成功。同时和他谈心，会做的题目做错是不是很郁闷。几个星期下来情况就有所好转。而数学知识点则谈的不多，适当给他拓展了一下思路。

而另外两个孩子确实基础比较差，问题主要是概念不清，不真正理解知识点，解题思路呆板。我的方法就是从头来过，帮他们第一理清概念，第二反复错的题目整理思路，同时让他们自己归纳思路和关键点，然后讲给我我听。通过不断对他们提问，让他们的脑子转起来，让他们自己审视自己的思路。人的潜力是很大的，一旦概念清晰了，自己开始动脑子整理思路了，数学成绩立马提高。最后三个孩子都在考试中考出比自己原先高的多的水平，上了自己心仪的学校。

罗罗嗦嗦又写了6个问题，主要都是关于如何学数学，以及进一步阐述我的数学学习理念的。我不是教学经验丰富的数学老师，只是一个数理化学习经验丰富的学生。

我的切身经验告诉我，数学不难，数学很美，学习数学其乐无穷。但是学习数学一定要有好方法，要以兴趣为罗盘，扬起逻辑思维的风帆，享受思考的过程，直达真理的优美彼岸。我想让我的女儿能够同样享受我所享受过的数学乐趣。希望各位家长和老师也能帮助你们的孩子和学生享受追求真理的快乐。

孩子数学课上都听的懂，为什么题目样子一变就不会了？