会员朋友们大家好，我是成都荒原书店主理人、前北京科技大学物理系教师季燕江，欢迎大家关注《给普通人的量子力学》，希望能和大家一起感受物理的魅力。
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给普通人的量子力学0：从电动小火车到量子比特
给普通人的量子力学01：电子
给普通人的量子力学02：光子
给普通人的量子力学03：波粒二象
给普通人的量子力学04：路径积分
给普通人的量子力学05：量子纠缠
给普通人的量子力学06：狄拉克记号
物理学中可以严格求解的模型很少，弹簧振子是其中之一。
在经典物理学中，假设我们有一根弹簧，弹簧本身的质量忽略不计，弹簧末端挂着一个质量为m的物体。由于重力和弹簧弹力可以互相抵消，弹簧可以静止下来。此时物理系统的能量最小。
弹簧示意
假设我移动物体，使其偏离平衡位置，弹簧会对物体施加一个弹性回复力，这个力的大小和物体偏离平衡位置的位移成正比，方向相反，表示为：-kx。
换句话说，我们是在与弹簧的弹力相对抗的状态下才偏离了位移x。这就好比爬山，我们是在与重力对抗的状态下升高了h。即：我们都在做功，使系统的势能升高了。所谓势能（potential energy）就是潜在的可以对外做功的能力，拉伸弹簧或者抬升物体其实就是在储能。
弹簧振子的势能曲线
弹簧是人类最早的储能技术，应用在弩等器械上。对生命来说，是通过糖来储能的，而在日常生活中，我们一般是用电池来储能的。
罗马时期的弩炮
物体偏离平衡位置x，储存起来的势能U(x)是kx²/2。物体还具有动能：mv²/2，这一项我们常改写为含动量p的形式，p²/2m。
总能量就是：
经典物理学中，最直接的求解弹簧振子运动的方法是使用牛顿第二定律（F = ma）：
这对应一个二阶微分方程：
这个方程的解是一个简谐振动，振动的频率满足：
现在用mω²替代弹性系数k，弹簧振子一般用如下哈密顿量描述：
弹簧振子的经典解，我们暂时就讨论到这里，重点展开量子力学对弹簧的求解。