数学归纳法只有简单的三个步骤，但它是一种强大的逻辑推理工具，能帮助我们更加科学地证明一个命题。
有「数学王子」之称的数学家高斯，从小就展现出非凡的数学天赋。
据说高斯在 8 岁的时候，老师出了一道题目：从 1 加到 100 的总和是多少？
老师本想用这道题，让全班的同学安静一节课的时间，却没想到高斯只用了不到 2 分钟的时间，就说出了答案：5050。
如果你学过数学归纳法，就会明白只要方法运用得当，其实类似上面这样的题目并不难。
下面介绍 100 种分析思维模型的第 99 种：数学归纳法，它是一种强大的逻辑推理工具，能帮助我们更加科学地证明一个命题。
1. 为什么学习数学归纳法？
学习数学归纳法具有重要意义，主要原因包括：
① 证明结论：通过学习数学归纳法，我们可以学会如何用数学的方法来证明结论，保障结论的正确性。
② 培养思维：数学归纳法要求我们按照一定的逻辑顺序进行推理和证明，因此可以培养和提升我们的逻辑思维能力。
③ 解决问题：数学归纳法不仅被广泛用于解决数学问题，而且被广泛用于解决各种计算机科学的问题，因为许多算法都涉及循环和递归的策略。
2. 什么是数学归纳法？
数学归纳法是一种数学证明的逻辑推理方法，它包括 3 个步骤：奠基、递推、结论。
① 奠基：证明当 n 取某个初始值（通常是 0 或 1）时命题成立。
② 递推：假设当 n = k 时命题成立，证明 n = k + 1 时命题也成立。
③ 结论：命题对所有自然数 n 都成立。
例如，要证明：1 + 2 + 3 + …… + n = n * (n + 1)/2，采用数学归纳法的步骤如下：
① 奠基：当 n = 1 时，1 = 1 * (1 + 1)/2，等式成立。
② 递推：假设当 n = k 时等式成立，即：1 + 2 + 3 + …… + k = k * (k + 1)/2则当 n = k + 1 时，有：1 + 2 + 3 + …… + k + (k + 1) = k *(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1) * (k + 2)/2也就是说，此时等式也成立。
③ 结论：上面的等式对所有大于或等于 1 的自然数都成立。
注意：数据归纳法的前 2 个步骤，也就是「奠基」和「递推」，二者缺一不可，否则就无法得出可靠的「结论」。
数学归纳法本质上属于演绎推理，而不是归纳总结，因为归纳总结通常无法排除某些例外情况，而数学归纳法则可以做到完全没有例外发生。
比如，小明家里养过 2 只狗，这 2 只狗恰好都很温顺，于是他便认为所有的狗都很温顺。直到他遇到一只凶狠的狗，甚至被咬伤之后，他才发现自己原来的想法不对。
很显然，他原来的归纳推理太过草率，在得到结论之前，没有考虑到可能存在的例外情况。
3. 怎么运用数学归纳法？
在日常工作和生活中，我们也可以尝试运用数学归纳法。
比如，假设有一个不透明的袋子，我们要证明其中装的全部都是大米。按照一般的归纳法，如果从袋子中摸出来的第 1 粒是大米，第 2 粒是大米，甚至第 3、4、5 …… 100 粒都是大米，此时我们就会猜想：袋子中的东西，是不是全部都是大米？
要检验这个猜想是否正确，通常要把袋里的东西全部摸出来，才能真相大白。但是，假设大米多到一个人数不过来，此时不放先把大米分成 n 个小袋，让 n 个人分别去确认每个小袋中是否全部都是大米，然后运用数学归纳法。
① 奠基：第 1 个小袋全都是大米；
② 递推：假设第 k 个小袋全都是大米，推导出第 k + 1 个小袋也都是大米。
③ 结论：袋子中装的全都是大米。
运用数学归纳法，就像是玩多米诺骨牌，你想要让最后一块骨牌倒下，但现在动不了它，不过没关系，你只要一点一点地往前找，找出第一块骨牌，把它推倒，后面的就会跟着倒下来。
假设你负责一个大型项目，其中包含多个任务，每个任务都必须在前一个任务完成之后才能开始，此时也可以运用数学归纳法。
① 奠基：从第一个小任务开始，比如做一份项目计划书的草稿；
② 递推：假设完成第 k 个任务，推导出第 k + 1 个任务也能完成。比如把目标分解下去，确保每个人都能按期完成目标之后，项目的整体目标也能完成。
③ 结论：项目将会按期完成。
需要注意的是，上面这个例子其实并不是严格意义上的数学证明，而是为了体现一种逻辑推理的过程，帮助你更好地理解数学归纳法的思想。
在实际工作和生活中，我们无法仅用数学归纳法来证明项目必将大获成功，也无法仅用数学归纳法来证明一个袋子中装的全部都是大米，但是我们可以运用数学归纳法的思考模式来分析问题，从而提升我们的逻辑思维和解决问题的能力。
最后的话
对于数学归纳法，很多人通常会把注意力放在第 ② 步：递推，却很容易忽略第 ① 步：奠基，最后导致白忙一场。
就像很多人在考虑问题的时候，往往只盯着下一步，却忘记了出发的初衷，结果发现一开始就走错了方向，导致浪费了很多时间。
运用数学归纳法思考问题的方式，不仅能提升我们的逻辑思维能力，而且能让我们行动的方向与目标保持一致，尽量少走一点弯路。
延伸学习：
《数学归纳法》（华罗庚，2002 年）
《逻辑思维训练 50 讲》（吴军，2024 年）
题图来自Unsplash，基于 CC0 协议。