二维坐标能用复数表示，但三维坐标却不能用三元数表示，这导致长期以来三维共形设计缺乏数学基础。
最近的一项科学研究通过突破基础原理，为三维共形设计提供了可能性。
新加坡国立大学仇成伟教授、复旦大学黄吉平教授联合团队，突破共形变换的几何限制，提出共形辅助追踪（CAT，Conformality-Assisted Tracing）方法。
CAT 方法能精准、高效地设计复杂三维结构的材料参数，具有正向设计、任意形状、各向同性等优势，从而调控各种扩散和波动系统，如热学和光学。
图丨仇成伟（左）和黄吉平（来源：该团队）
CAT 是一种正向的准解析方法，相比于逆向设计材料参数，在设计的精度和效率方面都具有显著的优势。
该方法有望成为设计超构材料的新范式，在隐身和伪装等复杂多物理场调控方面表现出应用潜力，为军事和工业中的关键问题提供解决方案。
日前，相关论文以《基于正向共形辅助追踪的任意形状和多物理场超构材料》（Free-form and multi-physical metamaterials with forward conformality-assisted tracing）为题在 Nature Computational Science 上发表[1]。
中国工程物理研究院须留钧助理研究员、南通大学戴高乐博士和中国工程物理研究院杨福宝博士是共同第一作者，新加坡国立大学仇成伟教授与复旦大学黄吉平教授担任共同通讯作者。
图丨相关论文（来源：Nature Computational Science）
三维共形隐身：缺乏数学基础导致的物理挑战
据了解，2006 年 Science 连续发表了两篇论文，独立报道了基于变换理论的光隐身[2-3]。
共形变换理论有极强的几何限制，是目前光学、声学和热学等超构材料领域的普遍挑战。由于缺乏数学基础，这个挑战基本被认为是无法攻克的。
那么，“三维共形”是不是意味着不可能实现呢？
2023 年，须留钧合作完成了一项“二维共形”的研究[4]，他发现：二维共形变换理论和二维散射相消理论预言的热导率完全一致。
散射相消理论也是设计隐身的重要方法之一，但这两种截然不同的理论怎么会产生相同的结果呢？
基于物理直觉，须留钧开始坚信：既然散射相消理论可以推广至三维，那么三维共形问题一定可以被解决，只是还没找到合适的方法。
他表示：“这绝不是巧合，因为散射相消理论过去被认为是独立于变换理论的，其核心是直接求解拉普拉斯方程，一定有更深刻的物理关联。”
图丨CAT 方法的物理基础（来源：Nature Computational Science）
执着的力量发挥了关键作用。没过多久，他就与合作者提出了一种名为共形辅助追踪的新方法，攻克了共形变换理论的几何限制。
该研究是基础原理的突破，研究人员巧妙地利用稳态热传导中的流线和等温面构成三维正交网格，从而绕开了无法构建三元数的数学难题，进一步提出了 CAT 方法，最终使三维共形设计成为可能。
须留钧解释说道：“CAT 方法是沿着流线和等温面设计材料参数，使二者形成三维共形网格（满足保角性和伸缩率不变性）。”
热流的定义保证了二者总是正交的，因此流线和等温面天然满足保角性，但通常不满足伸缩率不变性。伸缩率不变性，可以形象地理解为正方体变换后还是正方体，而不会变成长方体。
CAT 方法依赖于扩散原理，即求解稳态热传导方程，是一种和射线追踪截然不同的扩散追踪。
但这并不意味着 CAT 方法只能用于扩散调控，由于共形网格具有几何特性，它也能用于波动调控（如光学）。
须留钧说：“有趣的是，该方法的英文缩写是 CAT，而猫（Cat）的特长又恰好是追踪（老鼠），可谓一语双关。”
为复杂多物理场调控带来精度和效率的飞跃
研究人员实验展示了二维和三维任意形状的共形热隐身，证实了共形变换理论的几何限制被 CAT 方法彻底解决了。
图丨多物理场调控（来源：Nature Computational Science）
即便是非常复杂的三维结构，也仅需几十秒就能数值求解稳态热传导方程，从而得到由流线和等温面构成的正交网格。
须留钧指出，该方法不仅效率高，精度也远超目前主流的逆向设计方法。
此外，CAT 方法在光隐身、光波导和热电透明等多物理场，以及多功能器件的设计中具有普适性，有望为超构材料领域提供源于扩散的独特优势。
图丨须留钧（来源：须留钧）
下一步，该课题组计划基于 CAT 方法设计更多新奇的现象和功能，并将 CAT 方法推广至其他物理场。
须留钧表示：“目前，我们在寻找合作，将 CAT 方法用于更广泛的流体力学、弹性力学等领域，提升复杂系统中的多物理场调控能力。希望通过实现瞬态调控，来解决芯片散热、航空隔热等关键领域的关键问题。”
此外，由于四元数是可以被严格定义的，他们还计划将空间维度的材料参数设计拓展至时空维度。这些结果有望为灵活控制多物理场开辟新方向。
参考资料：
1.Xu, L., Dai, G., Yang, F., Liu, J., Zhou, Y., Wang, J., Xu, G., Huang, J., & Qiu, C.W. Free-form and multi-physical metamaterials with forward conformality-assisted tracing. Nature Computational Science (2024). https://doi.org/10.1038/s43588-024-00660-1
2.Pendry, J. B. et al. Controlling Electromagnetic Fields. Science 312, 1780 (2006). https://doi.org/10.1126/science.112590
3.Leonhardt, U. Optical Conformal Mapping. Science 312, 1777 (2006). https://doi.org/10.1126/science.1126493
4.Dai, G. et al. Diffusive Pseudo-Conformal Mapping: Anisotropy-Free Transformation Thermal Media with Perfect Interface Matching. Chaos, Solitons & Fractals 174, 113849 (2023).
https://doi.org/10.1016/j.chaos.2023.113849
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