改变人类文明进程的一个支点。

刘春艳

北京教育学院教授、数学教育研究中心主任

提起经典，许多人自然而然地想到文学、历史、哲学等人文领域的名著。

作为人类文明重要组成部分，数学与科学领域同样有经典名著。

古希腊欧几里得的《几何原本》，成书于公元前300年左右，至今已经用不同文字出版了1000版以上，流传时间之久、范围之广世所罕见，是当之无愧的经典。

01

建立演绎体系的最早典范

今天为什么还要读2300年前的数学著作呢？欧几里得的《几何原本》是运用公理化方法建立起的数学体系，被认为是最早的逻辑体系的典范。

从现代数学角度来看，《几何原本》存在不够严密、遗漏甚至错误等明显不足。比如第一个定义：点是没有部分的。什么是“部分”？这样的定义是模糊的，要从这种定义严格推出任何结论是不可能的。又如第一命题证明中提到两个圆相交，两个圆为什么一定相交呢……

那么，欧几里得的《几何原本》为什么还能成为经典呢？

因为它不仅在于产生一些有用、美妙的定理，而且是从定义、公理出发，通过三段论的逻辑推理，把零散的数学知识组织起来，形成严密的演绎体系，深刻影响到后世数学的发展。更重要的是，它孕育出一种理性精神，一种世界观。正如德国数学家菲利克斯·克莱因所言，“数学和来源于人类理性的卓越光辉的真正激情，第一次被希腊人激发了”。

《几何原本》成为理性思维的象征，对于其他学科的发展具有示范作用。比如牛顿仿效欧氏几何，把哥白尼到开普勒时期积累的力学知识用公理化方法组成一个逻辑体系，其思想巨作《自然哲学的数学原理》的结构就是公理化体系。杰斐逊的《独立宣言》、马克思的《资本论》、马尔萨斯的《人口论》等也都借鉴了公理化思想方法。

回顾历史，《几何原本》的重要性远远超出了作为逻辑实践和推理模式本身的价值，是一部影响人类文明进程的不朽之作。数学家在寻找欧氏几何第五公设的替代命题或证明它是其他公理推论的过程中，非欧几何诞生了。爱因斯坦的相对论，就揭示了时空结构的非欧几何性质。

02

从命题和证明中能读出什么

《几何原本》是一本数学书。全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明。从这些命题和证明中能读出什么呢？

读学科知识。《几何原本》原名《原本》，是欧几里得在前人研究的基础上整理而成。“几何”二字是明代传到中国时，译者徐光启和利玛窦加上的。全书包括了平面几何、立体几何和初等数论的一些内容。通过阅读可以了解古希腊的数学成就，包括泰勒斯、毕达哥拉斯学派等对于数学的贡献。

读公理化方法。《几何原本》是公理化方法最早的典范。公理化方法就是从尽可能少的原始概念（基本概念）和尽可能少的一组不加证明的原始命题（公理、公设），通过严格的逻辑推理，推出其余的命题。通过阅读，我们去理解《几何原本》中的基本概念是如何选择的，公理是如何对基本概念的相互关系和基本性质进行阐述和规定的，如何将已有的数学知识进行分类，以及如何借助逻辑推理揭示知识之间的内在联系，等等。

读数学发展脉络。《几何原本》中的“几何图形”是有限的、封闭的、静止的，如将直线定义为可以向两个方向延伸至充分远的线段。而其中又蕴含着极限、无限等现代数学思想的萌芽。通过《几何原本》，我们可以深深体会数学发展曲折而漫长的过程，感悟理性思维和科学精神的内涵。

03

解读千年经典的三个视角

正如意大利作家卡尔维诺在《为什么读经典》中所言：经典是那些你经常听人家说“我正在重读……”而不是“我正在读……”的书，一部经典作品是一本每次重读都像初读那样带来发现的书，一部经典作品是一本即使我们初读也好像是在重温的书。欧几里得的《几何原本》就是这样的经典。

解读《几何原本》这部经典可以从以下三方面着手。

一是从历史视角了解成书背景。

我们可以在了解古希腊历史的基础上读《几何原本》。古希腊不仅仅是一个地理概念或时间概念，更是一个文化、哲学、艺术和科学紧密交织、共同繁荣的辉煌时期。

此外，《几何原本》传入我国的过程也充满了曲折与传奇。它经历了翻译、传播等多个环节，对我国古代数学的发展产生了深远影响。通过回顾这段历史，我们可以更加深刻地理解中西方文化的共性与差异，从而更好地传承和发扬文化遗产。

二是借助专家视角追本溯源。

《几何原本》作为数学领域的经典著作，其影响不仅在几何，还延伸至代数、非欧几何乃至哲学等领域。为了更好地理解这部巨著及其重要地位，我们可以借助数学家和数学教育家的专业评注，以及相关的专业书籍来阅读。

例如，美国数学家莫里斯·克莱因的《数学简史》为我们提供了数学发展的宏观视角，有助于我们深刻认识《几何原本》在数学史上的独特地位和广泛影响；德国数学家希尔伯特的《几何基础》则深入探讨了几何学的基础理论，为我们解读《几何原本》中的公理化思想提供了专业的指导和启示；而我国数学家项武义的《基础几何学》能帮助我们明晰《几何原本》中的基本概念和基本结构等。

通过这些专业视角的解读，我们可以更好地把握这部著作的精髓，更加深入地理解《几何原本》为何至今仍是我们进行科学研究和学习的典范。

三是从教学视角理解作为学科的数学。

数学教师可以结合具体的教学内容来研读《几何原本》。

例如，在初高中的几何课程中，一些被视为公理的内容（在课程标准中被称为基本事实）在《几何原本》中可能并未被直接列为公理。课程标准为何会进行这样的处理？其选择依据是什么？再进一步，教材中某些公理的表述方式也可能发生了变化。

以《几何原本》中的第五公设为例，它用平行公理来表述，并通过“将木条A、B分别与木条C钉在一起”的实验来探究和发现平行公理，这样的处理方式更为直观，有助于学生更好地理解和接受。同时，我们也能深刻体会到与第五公设等价的命题，如三角形内角和定理、勾股定理、正弦定理等在几何学知识体系中的重要地位和作用。

从数学历史发展的角度看，几何学的研究方法论大体上可以分为实验几何、推理几何、解析几何和向量几何。对于今天的数学教学而言，如何将这些方法与欧氏几何有效结合，是一个值得深思的问题。通过阅读经典著作，我们可以更深入地理解课程标准和教材编写意图，从而更好地指导教学实践。

感谢阅读

如果你觉得这篇文章不错的话

欢迎【关注】&【转发朋友圈】

来源 |《中国教师报》8月21日06版

作者 | 刘春艳

编辑 | 皮皮兵不皮

今天，为什么读经典——共读欧几里得《几何原本》有感