一、无穷是什么
要回应您对标题的疑问，
我们先要弄懂【何为无穷】。
大多数人都觉得它是一个数不过来的数。
我曾经也这样认为。
如果它是一个比所有数都大的数，那它就还是一个数。
但它不是。
无穷是一种趋势——
一组事物趋向于无穷大或者无穷小的趋势。
是不是挺颠覆的？咱们从头说。
首先，无穷是个抽象的数学概念。
谁也没有见过它，也没有真切地感受过它。
它是一个抽象的数学概念：
存在于数学共识中。
存在于我们周围的时空中。
当事情是有限的，可数的，
我们可以用有限的、确定的标准来衡量。
比如一根绳子长1亿米，很长。
没关系，它是有限的可数的。
我们可以用尺子、用激光给一个值。
而无穷不是确定的、精确的——请注意这一点！
举个例子，看下面的数列。
我用三种方法，能得到三个答案，我算的对吗？
细看起来，每一种解法都没有问题。
似乎都对。
但柯西（数学大神）说，不对。
因为我在用有限思维来理解无限。
细细说来。
接下来请贡献你的大脑和耐心。
（柯西，高数考试前要拜的）
起初很多人都迷惑：
无限数列改变计算方式，能得到很多答案，到底哪个对？
柯西大神出来说话了：
他说大家都忽略了一点，无穷不是一个数，它不确定，所以它不是总能被求和的。
而且计算无穷数列时，加减乘除的四则运算法则不能用，你不能改变计算顺序。
无穷虽然不能有确定的值，但是它可以收敛或者发散。
比如，数列1、2、3、4、5…就是发散的，因为最后的值很大很大。
而½、¼、…就是收敛的，它无限逼近于0。
（怎么定义无限逼近，后来柯西给出了严谨的定义。）
注意，无限逼近。
细品，是不是一种趋势，而且这种趋势还有大有小。
也就是说：
有些数列收敛的快，有些收敛的慢。
有些数列发散的快，有些发散的慢。
比如，下图的第一个数列就比第二个收敛的慢。
下图的第一个数列就比第二数列发散的慢。
速度不同，让这些无穷数列各有不同。
更快的属于高阶，慢的属于低阶。
于是就有了高阶无穷小和低阶无穷小
高阶无穷大和低阶无穷大
那这么多无穷之间如何运算呢？
柯西做了推算，这些公式我们大一的时候肯定都记过。
但是记归记，
真给你两个数列，让你加减乘除，你也会晕菜的。
你不止需要这几个公式，还需要更多的法则。
比如洛必达法则。
我当时计算计算起来实在头疼，
现在再回过头，多了份欣赏与赞叹——
人必须经历一些事，才能懂更多道理，包括数学上的道理。
停止感叹，继续烧脑。
无穷之间可以计算，可以对比。
那对比出来没？
到底谁是最高阶的无穷大？
二、高阶无穷大
开头咱们就说了：
最高阶的无穷大是【你能画出的曲线数目】
是不是很匪夷所思？
不急，我们从开头说起。
1 一阶无穷大，所有整数的数量
整数很多，可以到无穷。
1、2、3……
这理解起来没有问题。
2 比整数数目更高阶的无穷大——
是一条线、一个平面、一个立方体中的点。
要理解这个，我们要回一一对应。
集合论的创始人康托尔，
比对无穷时用的也是这个方法。
康托尔把两个无穷的数进行比较。
比如，奇数和偶数。
一个奇数对应一个偶数，
奇数的数目和偶数相等，
它们是等价无穷大，这没有问题。
然而，偶数和整数的数目，也是一样的。
一个偶数对应一个整数，
再拿另外一个偶数对应一个整数……
因为它们都是无穷的，
总可以这样无穷的对应下去。
那么这样一来，奇数和整数的数目是相同的。
部分等于整体。
是不是很反直觉？
关于这一点，还有一个著名的思想实验，希尔伯特的旅馆。
可以去搜索一下，非常有意思。
接着说。
理解了偶数和整数数目相同。
再进一步：分数和整数数目相同。
康托尔是这样设计的：
写下所有分子和分母的和为2的分数；
写下所有分子分母的和为3的分数；
写下所有分子分母的和为4的分数；
依此类推，就能得到一个无穷的分数序列。
我们再拿这个无穷的分数序列跟整数对应。
因为它们都是无穷的，总可以对应上。
所以，分数和整数的数目相同
它们是等阶无穷大。
重点来了
一条线上的点包括分数，也包括无理数。
（无理数不能被表达成分数，关于这点可以看以前的文章）
所以一条线上的点，是比整数数目更高阶的无穷大。
那一个面，一个立方体的点呢？怎么解释？
再来看。
我们说一条线上的点很多
但没有说是直线、射线
还是线段
抑或是短的线段，很长的线段。
直线和射线上的点无限，很好理解。
线段呢？
其实无论是1厘米还是1米的线段上的点——
都一样多。
看下图，
AB和AC虽然长度不同。
但我们可以通过做平行线的方式将AB上的点对应到AC上。
很容易证明它们的点是相同的。
很妙吧
理解了这点，就容易理解一个平面、一个立方体了。
我们在线段上找一个点。
把它的奇分位和偶分位分离出来，
这样得到两个数。
用坐标的方式，找到这两个数在平面中对应的点。
于是，得到了与线段上的点对应的点。
反过来也是一样的。
于是，平面的点跟直线的点总能对应。
所以，它们是同阶无穷大。
换到立方体里面，也是这个道理。
只不过把一个数分成立方体里的三个数，
最终放到xyz坐标里找到一个点。
好了，现在明白了吧。
第一级无穷大，整数数目。
第二级无穷大，线段、平面、立方体里点的数目。
现在该说第三级无穷大了——所有曲线的形状的数目。
是不是有点匪夷所思？
你看，现在你随手画一条曲线，
随便画，你肯定能够画出无穷多种形状的曲线。
这些曲线的总数是无穷大的，
而且是第三级无穷大，
比整数和一条线段上的点这样的无穷大更大。
而且直到现在也没有发现比这个无穷大更大的无穷大。
你想啊
一条线上的点，无论哪个点，你总能画一条曲线跟它对应
而且，在对应它的点后
你还有富裕
你总能通过改动
画出不同以往的新的曲线
更高阶的无穷大，
是人的想象力、创造力。
是不是很有趣？
数学，有趣的地方多着呢。
咱们一起学。