识不足则多虑。
我们学数学会有焦虑感，大多因为在数学上的见识还比较浅。多见者识广，博览者心宏。
疏解这种焦虑感的一剂“良药”就是从数学思想入手，如此一来既见“树”又见“森林”，从更高的视角认识数学的本质和意义。一旦悟透了数学思想中的妙处，学习中的焦虑感就会减轻，而乐趣便翩然而至。
从与生活紧密联系的概率入手，翻开《不焦虑的数学思想》，你可能会从哀叹“数学好难啊”转而惊呼“数学好有意思啊”！
《不焦虑的数学思想：让人人都能开窍》
贼叉
01
贝特朗奇论“奇”在哪？
我们先在一张白纸上画一些等宽的平行线，然后拿起一根火柴棍，让它从空中落下，做自由落体运动并随机落在白纸上，那么，如果我告诉你，根据火柴棍掉落的总次数，以及火柴棍和平行线相交的次数，就能算得圆周率的近似值，你信吗？
数学的奇妙之处就在于，一些看起来毫无关联的事情之间居然有着不可思议的联系。
无论是数学，还是更广泛意义上的科学，在其发展的初期，一定会涌现大量的结论。但是，通常也会因为理论不够完备，出现很多有意思的问题，概率论也不例外。
数学家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）认为，如果我们无法判断哪一种结果会比另一种结果更容易出现，那么就认为每种结果有相同的可能性。拉普拉斯（Laplace）在这个思想上更进一步，他认为未知的概率都是等概率。以这种思想为指导的概率论称为古典概率论，19 世纪的数学家们在这个指导思想下发展出了一系列的定义和定理。
1889 年，法国数学家约瑟夫·贝特朗（Joseph Bertrand）提出了著名的贝特朗奇论（也叫贝特朗悖论）。这个问题的描述非常简单：单位圆周上任取两点构成一条弦，弦长大于的概率是多少？
解法一
解法二
解法三
在这三种解法里，哪一种错了？经过反复检查、甄别，你会发现这三种解法都是对的……现在知道“奇”在哪儿了吧？我们从小到大遇到的数学题，如果不是分类讨论，大多只能有一个答案，但现在却出现三个不同的“正确答案”，这究竟是怎么回事？
所有推导过程都是无懈可击的，而我们在追根溯源后发现，原来，这三种方法对“任取”二字的理解不同：第一种解法的取弦方式是在圆周上取两点构成弦；第二种解法则是选定一条直径，然后选直径上的点为弦的中点；第三种解法则是在圆内任取一点作为弦的中点。这三种方法都是对的——毕竟，我们没有规定“任取”的方式。这下让人有点儿糊涂了：数学不是很严谨的学科吗？取点的方法是对的，推导过程也是对的，三个答案却互不相同，究竟是哪里出了问题？
这真是一个好问题！既然在明面上找不到问题，那说明问题只能出在根子上。也就是说，我们讨论到现在的概率论本身有着重大的缺陷，必须加以改造，才能成为真正意义上的“数学”。这个改造的过程就是建立概率论的公理化体系，使概率论有一个严格的数学基础。所以，贝特朗奇论并没有推翻概率论之前的理论，而是把这个新兴的数学分支往前推动了一大步。
我们把在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为“随机现象”，而概率论就是研究随机现象中数量规律的数学分支。随机实验中的每一种可能结果称为一个样本点，由部分样本点组成的实验结果称为随机事件，全体样本点组成的集合称为样本空间。
顺便说一句，用概率论的术语来说，贝特朗奇论这么“奇”，就是由于人们出于对“任取”的不同理解，实施了不同的随机实验，从而有不同的样本点和样本空间，导致了最后计算结果的不同。
02
蒙特卡罗法：有点“费”数学家
20 世纪 40年代，当时在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室工作的约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）和斯塔尼斯拉夫·乌拉姆（Stanisław Ulam）最早提出了蒙特卡罗法，它并不是一种具体方法，而是一种基于概率和统计的计算方法，其原理是利用随机数（或更常用的伪随机数）来解决很多的计算问题。
我们该如何去理解一种“不具体”的方法呢？比如说，怎么打靶才能更准？瞄准的时候要“三点成一线”，即枪的准星、缺口和目标这三点要在一条直线上，这就是一个具体方法。而如果有人告诉你，打猎的时候要用枪，这就类似蒙特卡罗法：它给出了一个大方向，但没有细节。枪就像随机数（或更常用的伪随机数），至于怎么成功打到猎物，那就要根据风速、猎物的种类、距离、猎手人数等具体情况来定。
本章开头提到，曾有人利用一些等距的平行线和一根火柴棍估算出圆周率的值：让火柴棍随机落在纸上，记下火柴棍落下的次数，以及它与平行线相交的次数，就能解决问题。当然，人们最开始用的是绣花针而不是火柴棍，所以这著名的实验被称为“布丰投针实验”，这是蒙特卡罗法最早的运用。
我们可以展开一下这个问题，加入一些细节，使它看起来更像一个数学问题。我们把实验工具换回布丰伯爵（Comte de Buffon）最初采用的绣花针，看看他怎么用这种办法求圆周率的近似值。假设在平面上画有一组间距为 a的平行线，将一根长度为l（l≤a）的绣花针任意掷在这个平面上，那么针与平行线中任一条相交的概率p为多少？布丰通过计算得到这个结果是
这里的计算过程需要用到积分，我就略去了，有兴趣的读者可以自行查阅。通过简单的代数变形，得到。于是问题来了，p的值又该如何计算呢？
事实上，人们很早就发现，如果实验的次数足够多，就可以用事件发生的频率来代替概率。比如抛硬币这件事，如果忽略硬币本身的质量分布可能存在细微的不均匀（正、反两面花纹不同），那么抛出正、反两面的概率均为。但这不意味着，你抛 10 次硬币，必然有 5 次正面朝上、5 次反面朝上。事实上，你有可能得到 7 次正面、3 次反面，也可能得到 8 次正面、2次反面，甚至 10 次都是正面或 10 次都是反面的情形，虽然最后这两种情形很难出现，但仍存在理论上的可能性。
如果把抛硬币的次数增加到 100 次、1000 次、10 000 次，就会发现情况不一样了（表 3.1）。
我们发现，出现正面的频率都惊人地接近 0.5，这也是古典概率论认为会出现正面的概率。表 3.1 中这些“无聊之人”——谁没事抛 8 万多枚硬币？——的实验表明：在相同条件下（硬币质量分布均匀），如果大量重复有多种可能性结果的事件（硬币正面或反面朝上），那么各种可能结果的频率会稳定在某个确定的数值附近（本例中为）。
你或许发现了一件很尴尬的事：聊了这么久，究竟什么是概率呢？事实上，上一段话中的“某个确定的数值”就可以被视为概率的值——在一定条件下，事件发生可能性大小的频率稳定值，称为事件的概率。换句简单的话来说，当实验的次数足够多，我们就可以用频率来代替概率。而这个“代替”的合理性在概率论中称为大数定律，是可以被严格证明的。
所以，我们解决了“布丰投针实验”中概率是多大的问题：只要画一些等距的平行线，然后开始扔针，并记下扔的总次数，以及针和平行线相交的次数，就可以了。正如刚才讲的，布丰这种方法估算了圆周率的值。世界上永远不缺少“无聊”的数学家。
在电子计算机出现之前，单靠人力进行随机实验，有点儿“费”数学家。你看亲自动手做“布丰投针实验”的那几个家伙，哪个不是无聊地把扔针这件事重复了成千上万次？面对这么简单的问题尚且如此，对于那些复杂度较高的问题，蒙特卡罗法只能是一种理论上的方法，没有任何实践的意义。
然而在电子计算机出现后，情况发生了翻天覆地的变化。人们不再需要真实地进行重复操作，只要用随机数就可以完成这个过程——哪怕是在电子计算机发明之初（世界上第一台电子计算机每秒仅能运算 5000 次），计算机和蒙特卡罗法一结合，就显示出了巨大作用，更不用提，如今计算机的计算能力远超当年，一台智能手机的计算速度大约是当年“阿波罗”登月计划中导航计算机的 1.2 亿倍。蒙特卡罗法的发展是和电子计算机的发展紧密联系在一起的，它是概率思想与电子计算机技术结合的产物。
这不由得使我想起了荀子的名言：“君子性非异也，善假于物也。”当数学思想结合适当的工具，往往就能创造出不可思议的奇迹。