天才的画作竟然与数学悖论有关

你知道吗？这幅名为《画手》（Drawing hands,1948）的奇妙画作，竟然与一个数学悖论有关。

我们先来看这幅画，它的局部很合理，拿着画笔的手在纸上画着另一只手，但整体来看却呈现出一种不可思议的循环与悖论，那只画手的手，竟然是被画上的手给画出来的。那究竟是哪只手先画的对方？

这是荷兰的天才艺术家埃舍尔(Maurits Cornelis Escher)的画作，他的很多作品都体现了这种无限循环的“错视”艺术。

这些画作的神奇，可以用一个数学悖论来解释，那就是罗素悖论（Russell's Paradox）。

这个悖论是英国哲学家与数学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell），于1901年提出的。

它有一个通俗的表达，叫做理发师悖论（Barber Paradox）：小城里有一位理发师，一天他放出豪言说：“我只为所有‘不给自己刮胡子的人’刮胡子”。

那么请问这位理发师该给自己刮胡子吗？

如果他给自己刮胡子，那么他就不应该给自己刮胡子。

如果他不给自己刮胡子，那他就应该给自己刮胡子。

这就形成了一个困境，他到底该不该给自己刮胡子？

早在公元前4世纪，古希腊哲学家欧布里德(Eubulides)也提出过类似的说谎者悖论（The Liar Paradox） ：如果某人说自己正在说谎，那么他说的话是真的还是假的？

如果他在说谎，那他说他自己正在说谎就是真的，那他应该在说真话。

如果他说的是真的，那他说他在说谎这句话就是谎话，那他就在说谎。

那他究竟说没说谎？

数学家们发现，一切悖论的根源都来在于“自指”（Self Reference）。

什么叫自指？

就是在定义某个东西的时候，反过来先引用了这个东西自身，也就是形成了循环定义。

直到现在，真正意义上的悖论，其问题几乎都是自指或自相关而引起。

虽然罗素悖论在埃舍尔的画作中，只是给人不可思议的奇妙感觉，但它在数学领域却是灾难性的，直接引发了第三次数学危机。

当时，康托尔的朴素集合论已经被数学界普遍接受，成为了数学大厦的基础。

但罗素悖论的出现，让数学家们意识到，朴素集合论会产生一些矛盾。

数学的最大特点是自洽，数学的基础存在这么大的漏洞自然不被允许。

于是，数学家们决定完善集合论，改造数学。

他们开始将集合论公理化，这样就能对集合论加以限定，规避由反身自指带来的矛盾。

数学界分为三派，试图从三个方向来化解罗素悖论引发的危机。

首先，是以罗素为代表的逻辑主义，他通过对集合进行级与类的划分（分支类型论），来消除反身自指带来的“恶性循环”。但最终罗素只建立了一个复杂的概念迷宫，没能实现将数学的彻底逻辑化。

其次，是以布劳威尔、克罗内克和庞加莱为代表的直觉主义，他们认为逻辑只是数学的一部分，不能成为数学的基础，数学的基础应该建立在“数学直觉”之上，而这种直觉来自于时间，停留在记忆里被抽象出来的概念。但这种说法太过主观，自然无法成为数学的基础。

最后，是以希尔伯特为代表的形式主义，他力求建立一个形式化的公理体系，就像欧几里得几何一样，通过五条公理，推出欧式几何所有的定理与结论，而公理不由这个理论产生。

只要选择合适的公理，整个数学大厦就能成为一个严密而自洽的公理体系，无比坚实。要判断其合理性，只有三条标准，那就是：一致性（相容性）、独立性（每一条公理都不是多余的）和完备性（所有定理都能由系统推导而出）。

希尔伯特对自己的宏伟规划充满信心，并在1930年的一次演讲结尾时，说出了那句后来刻在他墓碑上的名言：“我们必须知道，我们必将知道。”（Wir müssen wissen，Wir werden wissen）